Cálculo Exemplos

$x^{2} y + y^{2} x = - 2$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y + y^{2} x) = \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y + y^{2} x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

Etapa 2.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2} x]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = y^{2}$ e $g (x) = x$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \cdot 1 + x (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \cdot 1 + x (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \cdot 1 + x (2 y y')$

Etapa 2.3.5

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} + x (2 y y')$

Etapa 2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} + 2 x y y'$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$y^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y'$

Etapa 3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y' = - y^{2}$

Etapa 5.1.2

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$x^{2} y' + 2 x y y' = - y^{2} - 2 x y$

Etapa 5.2

Fatore $x y'$ de $x^{2} y' + 2 x y y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $x y'$ de $x^{2} y'$ .

$x y' x + 2 x y y' = - y^{2} - 2 x y$

Etapa 5.2.2

Fatore $x y'$ de $2 x y y'$ .

$x y' x + x y' (2 y) = - y^{2} - 2 x y$

Etapa 5.2.3

Fatore $x y'$ de $x y' x + x y' (2 y)$ .

$x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$ por $x (x + 2 y)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$ por $x (x + 2 y)$ .

$\frac{x y' (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y' (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $x + 2 y$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 y}{x + 2 y}$

Etapa 5.3.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y}{x + 2 y}$

Etapa 5.3.3.2

Para escrever $- \frac{2 y}{x + 2 y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y}{x + 2 y} \cdot \frac{x}{x}$

Etapa 5.3.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x (x + 2 y)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.3.3.3.1

Multiplique $\frac{2 y}{x + 2 y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y x}{(x + 2 y) x}$

Etapa 5.3.3.3.2

Reordene os fatores de $(x + 2 y) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y x}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 y x}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.3.5

Fatore $y$ de $- y^{2} - 2 y x$ .

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Etapa 5.3.3.5.1

Fatore $y$ de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y) - 2 y x}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.3.5.2

Fatore $y$ de $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- y) + y (- 2 x)}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.3.5.3

Fatore $y$ de $y (- y) + y (- 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- y - 2 x)}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.3.6

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{y (- (y) - 2 x)}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.3.7

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{y (- (y) - (2 x))}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.3.8

Fatore $- 1$ de $- (y) - (2 x)$ .

$y' = \frac{y (- (y + 2 x))}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.3.9.1

Reescreva $- (y + 2 x)$ como $- 1 (y + 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y + 2 x))}{x (x + 2 y)}$

Etapa 5.3.3.9.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y (y + 2 x)}{x (x + 2 y)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + 2 x)}{x (x + 2 y)}$