Cálculo Exemplos

$f (x) = 0.8 x^{3} - 4 x^{2} - 1$ , $[- 30, 4]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $0.8 x^{3} - 4 x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [0.8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [0.8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [0.8 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $0.8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0.8 x^{3}$ em relação a $x$ é $0.8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0.8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0.8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $3$ por $0.8$ .

$2.4 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2.4 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2.4 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$2.4 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2.4 x^{2} - 8 x + 0$

Etapa 1.1.1.4.2

Some $2.4 x^{2} - 8 x$ e $0$ .

$f' (x) = 2.4 x^{2} - 8 x$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2.4 x^{2} - 8 x$ .

$2.4 x^{2} - 8 x$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2.4 x^{2} - 8 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2.4 x^{2} - 8 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $0.8 x$ de $2.4 x^{2} - 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $0.8 x$ de $2.4 x^{2}$ .

$0.8 x (3 x) - 8 x = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $0.8 x$ de $- 8 x$ .

$0.8 x (3 x) + 0.8 x (- 10) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $0.8 x$ de $0.8 x (3 x) + 0.8 x (- 10)$ .

$0.8 x (3 x - 10) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 x - 10 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $3 x - 10$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $3 x - 10$ como igual a $0$ .

$3 x - 10 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $3 x - 10 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Some $10$ aos dois lados da equação.

$3 x = 10$

Etapa 1.2.5.2.2

Divida cada termo em $3 x = 10$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 10$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Etapa 1.2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Etapa 1.2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{10}{3}$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $0.8 x (3 x - 10) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{10}{3}$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $0.8 x^{3} - 4 x^{2} - 1$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$0.8 {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} - 1$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0.8 \cdot 0 - 4 {(0)}^{2} - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Multiplique $0.8$ por $0$ .

$0 - 4 {(0)}^{2} - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 4 \cdot 0 - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$0 + 0 - 1$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 - 1$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = \frac{10}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $\frac{10}{3}$ por $x$ .

$0.8 {(\frac{10}{3})}^{3} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{10}{3}$ .

$0.8 \frac{10^{3}}{3^{3}} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$0.8 \frac{1000}{3^{3}} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$0.8 (\frac{1000}{27}) - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Multiplique $0.8 (\frac{1000}{27})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.4.1

Combine $0.8$ e $\frac{1000}{27}$ .

$\frac{0.8 \cdot 1000}{27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.4.2

Multiplique $0.8$ por $1000$ .

$\frac{800}{27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.5

Cancele o fator comum de $800$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.5.1

Reescreva $800$ como $1 (800)$ .

$\frac{1 (800)}{27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.5.2.1

Reescreva $27$ como $1 (27)$ .

$\frac{1 \cdot 800}{1 \cdot 27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1 \cdot 800}{1 \cdot 27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{800}{27} - 4 {(\frac{10}{3})}^{2} - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.6

Aplique a regra do produto a $\frac{10}{3}$ .

$\frac{800}{27} - 4 \frac{10^{2}}{3^{2}} - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.7

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$\frac{800}{27} - 4 \frac{100}{3^{2}} - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.8

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{800}{27} - 4 (\frac{100}{9}) - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.9

Multiplique $- 4 (\frac{100}{9})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.9.1

Combine $- 4$ e $\frac{100}{9}$ .

$\frac{800}{27} + \frac{- 4 \cdot 100}{9} - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.9.2

Multiplique $- 4$ por $100$ .

$\frac{800}{27} + \frac{- 400}{9} - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{800}{27} - \frac{400}{9} - 1$

Etapa 1.4.2.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1

Multiplique $\frac{400}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{800}{27} - (\frac{400}{9} \cdot \frac{3}{3}) - 1$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Multiplique $\frac{400}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{9 \cdot 3} - 1$

Etapa 1.4.2.2.2.3

Escreva $- 1$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 1}{1}$

Etapa 1.4.2.2.2.4

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Etapa 1.4.2.2.2.5

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Etapa 1.4.2.2.2.6

Reordene os fatores de $9 \cdot 3$ .

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Etapa 1.4.2.2.2.7

Multiplique $3$ por $9$ .

$\frac{800}{27} - \frac{400 \cdot 3}{27} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Etapa 1.4.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{800 - 400 \cdot 3 - 1 \cdot 27}{27}$

Etapa 1.4.2.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.4.1

Multiplique $- 400$ por $3$ .

$\frac{800 - 1200 - 1 \cdot 27}{27}$

Etapa 1.4.2.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $27$ .

$\frac{800 - 1200 - 27}{27}$

Etapa 1.4.2.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.5.1

Subtraia $1200$ de $800$ .

$\frac{- 400 - 27}{27}$

Etapa 1.4.2.2.5.2

Subtraia $27$ de $- 400$ .

$\frac{- 427}{27}$

Etapa 1.4.2.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{427}{27}$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(0, - 1), (\frac{10}{3}, - \frac{427}{27})$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = - 30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 30$ por $x$ .

$0.8 {(- 30)}^{3} - 4 {(- 30)}^{2} - 1$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Eleve $- 30$ à potência de $3$ .

$0.8 \cdot - 27000 - 4 {(- 30)}^{2} - 1$

Etapa 2.1.2.1.2

Multiplique $0.8$ por $- 27000$ .

$- 21600 - 4 {(- 30)}^{2} - 1$

Etapa 2.1.2.1.3

Eleve $- 30$ à potência de $2$ .

$- 21600 - 4 \cdot 900 - 1$

Etapa 2.1.2.1.4

Multiplique $- 4$ por $900$ .

$- 21600 - 3600 - 1$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Subtraia $3600$ de $- 21600$ .

$- 25200 - 1$

Etapa 2.1.2.2.2

Subtraia $1$ de $- 25200$ .

$- 25201$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $4$ por $x$ .

$0.8 {(4)}^{3} - 4 {(4)}^{2} - 1$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$0.8 \cdot 64 - 4 {(4)}^{2} - 1$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $0.8$ por $64$ .

$51.2 - 4 {(4)}^{2} - 1$

Etapa 2.2.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$51.2 - 4 \cdot 16 - 1$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$51.2 - 64 - 1$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Subtraia $64$ de $51.2$ .

$- 12.8 - 1$

Etapa 2.2.2.2.2

Subtraia $1$ de $- 12.8$ .

$- 13.8$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 30, - 25201), (4, - 13.8)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(0, - 1)$

Mínimo absoluto: $(- 30, - 25201)$

Etapa 4