Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 8 x$ . Depois, $d u = 8 d x$ , então, $\frac{1}{8} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = 8 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 1.1.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $8$ por $1$ .

$8$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 8 x$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 0$

Etapa 1.3

Multiplique $8$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 8 x$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 8$

Etapa 1.5

Multiplique $8$ por $8$ .

$u_{upper} = 64$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 64$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{64} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Etapa 2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{8}$ .

$\int_{0}^{64} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} \sqrt{u} d u$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $64$ e em $0$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.4

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 512 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.5

Combine $\frac{2}{3}$ e $512$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.6

Multiplique $2$ por $512$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.7

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.8

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 6.2.9

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 6.2.9.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 6.2.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Etapa 6.2.11

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

Etapa 6.2.12

Multiplique $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1024}{3} + 0)$

Etapa 6.2.13

Some $\frac{1024}{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1024}{3}$

Etapa 6.2.14

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{1024}{3}$ .

$\frac{1024}{8 \cdot 3}$

Etapa 6.2.15

Multiplique $8$ por $3$ .

$\frac{1024}{24}$

Etapa 6.2.16

Cancele o fator comum de $1024$ e $24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.16.1

Fatore $8$ de $1024$ .

$\frac{8 (128)}{24}$

Etapa 6.2.16.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.16.2.1

Fatore $8$ de $24$ .

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

Etapa 6.2.16.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{8 \cdot 128}{8 \cdot 3}$

Etapa 6.2.16.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{128}{3}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{128}{3}$

Forma decimal:

$42.\overline{6}$

Forma de número misto:

$42 \frac{2}{3}$

Etapa 8