Cálculo Exemplos

$f (x) = \csc (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f' (x) = - \csc (x) \cot (x)$

Etapa 1.2

Reordene os fatores de $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f' (x) = - \cot (x) \csc (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cot (x) \csc (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x))$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = \csc (x)$ .

$f'' (x) = - (\cot (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Etapa 2.3

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f'' (x) = - (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Etapa 2.4

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Etapa 2.5

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Etapa 2.7

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Etapa 2.8

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Etapa 2.9

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x)))$

Etapa 2.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Etapa 2.11

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Etapa 2.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x)) + \csc^{3} (x)$

Etapa 2.12.2

Combine os termos.

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Etapa 2.12.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\csc (x) \cot^{2} (x)) + \csc^{3} (x)$

Etapa 2.12.2.2

Multiplique $\csc (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x)$

Etapa 2.12.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \cot^{2} (x) + 1 \csc^{3} (x)$

Etapa 2.12.2.4

Multiplique $\csc^{3} (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x)$

Etapa 2.12.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc^{3} (x)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cot^{2} (x) \csc (x) + \csc^{3} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (\cot^{2} (x) \csc (x)) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc (x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cot^{2} (x)$ e $g (x) = \csc (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{2} (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cot (x)$ .

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Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cot (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cot (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Etapa 3.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f''' (x) = \cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\cot (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cot (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) \frac{d}{d x} (\cot (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Etapa 3.2.4

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Etapa 3.2.5

Multiplique $\cot^{2} (x)$ por $\cot (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.5.1

Mova $\cot (x)$ .

$f''' (x) = \cot (x) \cot^{2} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Etapa 3.2.5.2

Multiplique $\cot (x)$ por $\cot^{2} (x)$ .

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Etapa 3.2.5.2.1

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$f''' (x) = \cot (x) \cot^{2} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Etapa 3.2.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f''' (x) = {\cot (x)}^{1 + 2} (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Etapa 3.2.5.3

Some $1$ e $2$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Etapa 3.2.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (- 2 \cot (x) \csc^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Etapa 3.2.7

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) (\csc (x) \csc^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Etapa 3.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) {\csc (x)}^{1 + 2} + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Etapa 3.2.9

Some $1$ e $2$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) + \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x))$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\csc^{3} (x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\csc (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) + \frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{3}) \frac{d}{d x} (\csc (x))$

Etapa 3.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} (\csc (x))$

Etapa 3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\csc (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) + 3 \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} (\csc (x))$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) + 3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) - 3 \csc^{2} (x) (\csc (x) \cot (x))$

Etapa 3.3.4

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) - 3 (\csc (x) \csc^{2} (x)) \cot (x)$

Etapa 3.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) - 3 {\csc (x)}^{1 + 2} \cot (x)$

Etapa 3.3.6

Some $1$ e $2$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x) - 3 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Combine os termos.

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Etapa 3.4.1.1

Reordene os fatores de $- 2 \cot (x) \csc^{3} (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \csc^{3} (x) \cot (x) - 3 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Etapa 3.4.1.2

Subtraia $3 \csc^{3} (x) \cot (x)$ de $- 2 \csc^{3} (x) \cot (x)$ .

$f''' (x) = \cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 5 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Etapa 3.4.2

Reordene os termos.

$f''' (x) = - \cot^{3} (x) \csc (x) - 5 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \cot^{3} (x) \csc (x) - 5 \csc^{3} (x) \cot (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \cot^{3} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [- 5 \csc^{3} (x) \cot (x)]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- \cot^{3} (x) \csc (x)) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cot^{3} (x) \csc (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cot^{3} (x) \csc (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cot^{3} (x) \csc (x)]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{d}{d x} (\cot^{3} (x) \csc (x)) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cot^{3} (x)$ e $g (x) = \csc (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot^{3} (x))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Etapa 4.2.3

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot^{3} (x))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Etapa 4.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cot (x)$ .

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Etapa 4.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cot (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{3}) \frac{d}{d x} (\cot (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Etapa 4.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} (\cot (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Etapa 4.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cot (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Etapa 4.2.5

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Etapa 4.2.6

Multiplique $\cot^{3} (x)$ por $\cot (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.6.1

Mova $\cot (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot (x) \cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Etapa 4.2.6.2

Multiplique $\cot (x)$ por $\cot^{3} (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.2.1

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$f^{4} (x) = - (\cot (x) \cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Etapa 4.2.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{4} (x) = - ({\cot (x)}^{1 + 3} (- \csc (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Etapa 4.2.6.3

Some $1$ e $3$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (3 \cot^{2} (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Etapa 4.2.7

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (- 3 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Etapa 4.2.8

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) (\csc (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Etapa 4.2.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Etapa 4.2.10

Some $1$ e $2$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) + \frac{d}{d x} (- 5 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 \csc^{3} (x) \cot (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 \csc^{3} (x) \cot (x)$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x) \cot (x)]$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x) \cot (x))$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \csc^{3} (x)$ e $g (x) = \cot (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x)))$

Etapa 4.3.3

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} (\csc^{3} (x)))$

Etapa 4.3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\csc (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{3}) \frac{d}{d x} (\csc (x))))$

Etapa 4.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} (\csc (x))))$

Etapa 4.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\csc (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} (\csc (x))))$

Etapa 4.3.5

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{3} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Etapa 4.3.6

Multiplique $\csc^{3} (x)$ por $\csc^{2} (x)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.1

Mova $\csc^{2} (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{2} (x) \csc^{3} (x) \cdot - 1 + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Etapa 4.3.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 ({\csc (x)}^{2 + 3} \cdot - 1 + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Etapa 4.3.6.3

Some $2$ e $3$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (\csc^{5} (x) \cdot - 1 + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Etapa 4.3.7

Mova $- 1$ para a esquerda de $\csc^{5} (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- 1 \cdot \csc^{5} (x) + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Etapa 4.3.8

Reescreva $- 1 \csc^{5} (x)$ como $- \csc^{5} (x)$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) + \cot (x) (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Etapa 4.3.9

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) + \cot (x) (- 3 \csc^{2} (x) (\csc (x) \cot (x))))$

Etapa 4.3.10

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) + \cot (x) (- 3 (\csc (x) \csc^{2} (x)) \cot (x)))$

Etapa 4.3.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) + \cot (x) (- 3 {\csc (x)}^{1 + 2} \cot (x)))$

Etapa 4.3.12

Some $1$ e $2$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) + \cot (x) (- 3 \csc^{3} (x) \cot (x)))$

Etapa 4.3.13

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) - 3 \csc^{3} (x) (\cot (x) \cot (x)))$

Etapa 4.3.14

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) - 3 \csc^{3} (x) (\cot (x) \cot (x)))$

Etapa 4.3.15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) - 3 \csc^{3} (x) {\cot (x)}^{1 + 1})$

Etapa 4.3.16

Some $1$ e $1$ .

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x)) - 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) - 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Etapa 4.4

Simplifique.

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Etapa 4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x))) - (- 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x) - 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Etapa 4.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = - (\cot^{4} (x) (- \csc (x))) - (- 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x)) - 5 (- 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Etapa 4.4.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (\cot^{4} (x) (\csc (x))) - (- 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x)) - 5 (- 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Etapa 4.4.3.2

Multiplique $\cot^{4} (x)$ por $1$ .

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) - (- 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x)) - 5 (- 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Etapa 4.4.3.3

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) + 3 (\cot^{2} (x) \csc^{3} (x)) - 5 (- \csc^{5} (x)) - 5 (- 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Etapa 4.4.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) + 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x) + 5 \csc^{5} (x) - 5 (- 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Etapa 4.4.3.5

Multiplique $- 3$ por $- 5$ .

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) + 3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x) + 5 \csc^{5} (x) + 15 (\csc^{3} (x) \cot^{2} (x))$

Etapa 4.4.3.6

Reordene os fatores de $3 \cot^{2} (x) \csc^{3} (x)$ .

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) + 3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x) + 5 \csc^{5} (x) + 15 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x)$

Etapa 4.4.3.7

Some $3 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x)$ e $15 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x)$ .

$f^{4} (x) = \cot^{4} (x) \csc (x) + 18 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x) + 5 \csc^{5} (x)$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\cot^{4} (x) \csc (x) + 18 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x) + 5 \csc^{5} (x)$ .

$\cot^{4} (x) \csc (x) + 18 \csc^{3} (x) \cot^{2} (x) + 5 \csc^{5} (x)$