Cálculo Exemplos

$\int 8 x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 1

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$8 \int x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x^{2}$ .

$8 (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$8 (\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 3.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Etapa 3.4

Multiplique $\frac{x^{3}}{3}$ por $\frac{1}{x}$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3 x} d x)$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 3.5.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x)$

Etapa 3.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.2.1

Fatore $x$ de $3 x$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Etapa 3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Etapa 3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{2}}{3} d x)$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x))$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C))$

Etapa 6.2

Reescreva $8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C))$ como $8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) + C$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) + C$

Etapa 6.3

Reordene os termos.

$8 (\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3}) + C$