Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{5 - 3 x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 5 - 3 x$ . Depois, $d u = - 3 d x$ , então, $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 5 - 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $5 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 1.1.2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$0 - 3$

Etapa 1.1.4

Subtraia $3$ de $0$ .

$- 3$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Etapa 2.3

Mova $3$ para a esquerda de $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{3 u} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 6

Simplifique.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 - 3 x$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 5 - 3 x |) + C$