Cálculo Exemplos

$\int_{- 2}^{1} \sqrt{3^{2} - x^{2}} d x$

Etapa 1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\int_{- 2}^{1} \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $x = 3 \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 3 \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ é positivo.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Simplifique $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $3 \sin (t)$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.1.3

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.2

Fatore $9$ de $9$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.3

Fatore $9$ de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.4

Fatore $9$ de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.6

Reescreva $9 \cos^{2} (t)$ como ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Etapa 3.2.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Etapa 3.2.3

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Etapa 3.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Etapa 3.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 9 \cos^{2} (t) d t$

Etapa 4

Como $9$ é constante com relação a $t$ , mova $9$ para fora da integral.

$9 \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos^{2} (t) d t$

Etapa 5

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$9 \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$9 (\frac{1}{2} \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 1 + \cos (2 t) d t)$

Etapa 7

Combine $\frac{1}{2}$ e $9$ .

$\frac{9}{2} \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{9}{2} (\int_{- 0.72972765}^{0.3398369} d t + \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos (2 t) d t)$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 0.72972765}^{0.3398369} \cos (2 t) d t)$

Etapa 10

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 10.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 10.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 10.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 0.72972765$

Etapa 10.3

Multiplique $2$ por $- 0.72972765$ .

$u_{lower} = - 1.45945531$

Etapa 10.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.3398369$

Etapa 10.5

Multiplique $2$ por $0.3398369$ .

$u_{upper} = 0.67967381$

Etapa 10.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 1.45945531$

$u_{upper} = 0.67967381$

Etapa 10.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 11

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \frac{1}{2} \int_{- 1.45945531}^{0.67967381} \cos (u) d u)$

Etapa 13

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{9}{2} (t]_{- 0.72972765}^{0.3398369} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 1.45945531}^{0.67967381})$

Etapa 14

Substitua e simplifique.

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Etapa 14.1

Avalie $t$ em $0.3398369$ e em $- 0.72972765$ .

$\frac{9}{2} ((0.3398369) + 0.72972765 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- 1.45945531}^{0.67967381})$

Etapa 14.2

Avalie $\sin (u)$ em $0.67967381$ e em $- 1.45945531$ .

$\frac{9}{2} ((0.3398369) + 0.72972765 + \frac{1}{2} ((\sin (0.67967381)) - \sin (- 1.45945531)))$

Etapa 14.3

Some $0.3398369$ e $0.72972765$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{1}{2} (\sin (0.67967381) - \sin (- 1.45945531)))$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{1}{2} \sin (0.67967381) + \frac{1}{2} (- \sin (- 1.45945531)))$

Etapa 15.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (0.67967381)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{\sin (0.67967381)}{2} + \frac{1}{2} (- \sin (- 1.45945531)))$

Etapa 15.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (- 1.45945531)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{\sin (0.67967381)}{2} - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

Etapa 15.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.4.1

Avalie $\sin (0.67967381)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + \frac{0.62853936}{2} - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

Etapa 15.1.4.2

Divida $0.62853936$ por $2$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - \frac{\sin (- 1.45945531)}{2})$

Etapa 15.1.4.3

Avalie $\sin (- 1.45945531)$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - \frac{- 0.99380799}{2})$

Etapa 15.1.4.4

Divida $- 0.99380799$ por $2$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 - - 0.49690399)$

Etapa 15.1.4.5

Multiplique $- 1$ por $- 0.49690399$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.31426968 + 0.49690399)$

Etapa 15.1.5

Some $0.31426968$ e $0.49690399$ .

$\frac{9}{2} (1.06956456 + 0.81117367)$

Etapa 15.2

Some $1.06956456$ e $0.81117367$ .

$\frac{9}{2} \cdot 1.88073824$

Etapa 15.3

Multiplique $\frac{9}{2} \cdot 1.88073824$ .

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Etapa 15.3.1

Combine $\frac{9}{2}$ e $1.88073824$ .

$\frac{9 \cdot 1.88073824}{2}$

Etapa 15.3.2

Multiplique $9$ por $1.88073824$ .

$\frac{16.92664417}{2}$

Etapa 15.4

Divida $16.92664417$ por $2$ .

$8.46332208$

Etapa 16