Cálculo Exemplos

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 20 x + 5 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Etapa 2.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Etapa 2.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Etapa 2.2.4

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20 x$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Etapa 2.2.6

Multiplique $- 20$ por $1$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Etapa 2.2.7

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 (2 x))$

Etapa 2.2.9

Multiplique $2$ por $5$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ e $g (x) = - 20 + 10 x$ .

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 20 + 10 x) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 20 + 10 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 20] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} (- 20) + \frac{d}{d x} (10 x)) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Etapa 3.2.2

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (10 x)) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Etapa 3.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (10 x) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Etapa 3.2.4

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (10 \frac{d}{d x} (x)) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (10 \cdot 1) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Etapa 3.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.6.1

Multiplique $10$ por $1$ .

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \cdot 10 + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Etapa 3.2.6.2

Mova $10$ para a esquerda de $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 10 \cdot e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2}))$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (e^{u} \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2}))$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2}))$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 20 x + 5 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Etapa 3.4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Etapa 3.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Etapa 3.4.4

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20 x$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Etapa 3.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Etapa 3.4.6

Multiplique $- 20$ por $1$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Etapa 3.4.7

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 3.4.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 (2 x))$

Etapa 3.4.9

Multiplique $2$ por $5$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

Etapa 3.5

Eleve $- 20 + 10 x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Etapa 3.6

Eleve $- 20 + 10 x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Etapa 3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + {(- 20 + 10 x)}^{1 + 1} e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Etapa 3.8

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + {(- 20 + 10 x)}^{2} e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Etapa 3.9

Reordene os termos.

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} {(- 20 + 10 x)}^{2} + 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

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Etapa 5.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Etapa 5.1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Etapa 5.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Etapa 5.1.2

Diferencie.

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Etapa 5.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 20 x + 5 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Etapa 5.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Etapa 5.1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Etapa 5.1.2.4

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20 x$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Etapa 5.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Etapa 5.1.2.6

Multiplique $- 20$ por $1$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Etapa 5.1.2.7

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 (2 x))$

Etapa 5.1.2.9

Multiplique $2$ por $5$ .

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$

Etapa 6.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

$- 20 + 10 x = 0$

Etapa 6.3

Defina $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.3.1

Defina $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ como igual a $0$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

Etapa 6.3.2

Resolva $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.3.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}) = \ln (0)$

Etapa 6.3.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 6.3.2.3

Não há uma solução para $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 6.4

Defina $- 20 + 10 x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.4.1

Defina $- 20 + 10 x$ como igual a $0$ .

$- 20 + 10 x = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $- 20 + 10 x = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.4.2.1

Some $20$ aos dois lados da equação.

$10 x = 20$

Etapa 6.4.2.2

Divida cada termo em $10 x = 20$ por $10$ e simplifique.

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Etapa 6.4.2.2.1

Divida cada termo em $10 x = 20$ por $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{20}{10}$

Etapa 6.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

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Etapa 6.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 x}{10} = \frac{20}{10}$

Etapa 6.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{20}{10}$

Etapa 6.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.4.2.2.3.1

Divida $20$ por $10$ .

$x = 2$

Etapa 6.5

A solução final são todos os valores que tornam $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$ verdadeiro.

$x = 2$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1.1

Multiplique $- 20$ por $2$ .

$e^{1 - 40 + 5 {(2)}^{2}} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Etapa 10.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e^{1 - 40 + 5 \cdot 4} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Etapa 10.1.1.3

Multiplique $5$ por $4$ .

$e^{1 - 40 + 20} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Etapa 10.1.2

Subtraia $40$ de $1$ .

$e^{- 39 + 20} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Etapa 10.1.3

Some $- 39$ e $20$ .

$e^{- 19} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Etapa 10.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{19}} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Etapa 10.1.5

Multiplique $10$ por $2$ .

$\frac{1}{e^{19}} {(- 20 + 20)}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Etapa 10.1.6

Some $- 20$ e $20$ .

$\frac{1}{e^{19}} \cdot 0^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Etapa 10.1.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{e^{19}} \cdot 0 + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Etapa 10.1.8

Multiplique $\frac{1}{e^{19}}$ por $0$ .

$0 + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Etapa 10.1.9

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.9.1

Multiplique $- 20$ por $2$ .

$0 + 10 e^{1 - 40 + 5 {(2)}^{2}}$

Etapa 10.1.9.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$0 + 10 e^{1 - 40 + 5 \cdot 4}$

Etapa 10.1.9.3

Multiplique $5$ por $4$ .

$0 + 10 e^{1 - 40 + 20}$

Etapa 10.1.10

Subtraia $40$ de $1$ .

$0 + 10 e^{- 39 + 20}$

Etapa 10.1.11

Some $- 39$ e $20$ .

$0 + 10 e^{- 19}$

Etapa 10.1.12

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 10 \frac{1}{e^{19}}$

Etapa 10.1.13

Combine $10$ e $\frac{1}{e^{19}}$ .

$0 + \frac{10}{e^{19}}$

Etapa 10.2

Some $0$ e $\frac{10}{e^{19}}$ .

$\frac{10}{e^{19}}$

Etapa 11

$x = 2$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 2$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.1.1

Multiplique $- 20$ por $2$ .

$f (2) = e^{1 - 40 + 5 {(2)}^{2}}$

Etapa 12.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = e^{1 - 40 + 5 \cdot 4}$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $5$ por $4$ .

$f (2) = e^{1 - 40 + 20}$

Etapa 12.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 12.2.2.1

Subtraia $40$ de $1$ .

$f (2) = e^{- 39 + 20}$

Etapa 12.2.2.2

Some $- 39$ e $20$ .

$f (2) = e^{- 19}$

Etapa 12.2.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = \frac{1}{e^{19}}$

Etapa 12.2.4

A resposta final é $\frac{1}{e^{19}}$ .

$y = \frac{1}{e^{19}}$

Etapa 13

Esses são os extremos locais para $f (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ .

$(2, \frac{1}{e^{19}})$ é um mínimo local

Etapa 14