Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{27} \sqrt{3 x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Etapa 1.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 27$

Etapa 1.5

Multiplique $3$ por $27$ .

$u_{upper} = 81$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 81$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{81} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{81} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{81} \sqrt{u} d u$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{0}^{81} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{81}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $81$ e em $0$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 81^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(9^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 9^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.4

Eleve $9$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 729 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.5

Combine $\frac{2}{3}$ e $729$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 729}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.6

Multiplique $2$ por $729$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1458}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.7

Cancele o fator comum de $1458$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.7.1

Fatore $3$ de $1458$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.7.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 486}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (\frac{486}{1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.7.2.4

Divida $486$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.8

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.9

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 6.2.10

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.10.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 6.2.10.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 6.2.11

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{3} (486 - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Etapa 6.2.12

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (486 + 0 (\frac{2}{3}))$

Etapa 6.2.13

Multiplique $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (486 + 0)$

Etapa 6.2.14

Some $486$ e $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 486$

Etapa 6.2.15

Combine $\frac{1}{3}$ e $486$ .

$\frac{486}{3}$

Etapa 6.2.16

Cancele o fator comum de $486$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.16.1

Fatore $3$ de $486$ .

$\frac{3 \cdot 162}{3}$

Etapa 6.2.16.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.16.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 162}{3 (1)}$

Etapa 6.2.16.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 162}{3 \cdot 1}$

Etapa 6.2.16.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{162}{1}$

Etapa 6.2.16.2.4

Divida $162$ por $1$ .

$162$

Etapa 7