Cálculo Exemplos

$y = \sin (x y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (x y))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 3.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$\cos (x y) (x y' + y)$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Etapa 3.6.2

Reordene os termos.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ .

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y)$

Etapa 5.2

Subtraia $x y' \cos (x y)$ dos dois lados da equação.

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

Etapa 5.3

Fatore $y'$ de $y' - x y' \cos (x y)$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $- x y' \cos (x y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ .

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$ por $1 - x \cos (x y)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y)$ por $1 - x \cos (x y)$ .

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $1 - x \cos (x y)$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)}$