Cálculo Exemplos

$\int \frac{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}}{5 \sqrt{x}} d x$

Etapa 1

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} \int \frac{{(\sqrt{x} + 2)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{5} \int \frac{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{5} \int \frac{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 2.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 2.4.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 2.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{5} \int {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 3

Deixe $u = x^{\frac{1}{2}} + 2$ . Depois, $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , então, $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = x^{\frac{1}{2}} + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{1}{2}} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.1.3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.1.3.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.1.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.1.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.1.3.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.1.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0$

Etapa 3.1.5

Simplifique.

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Etapa 3.1.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Etapa 3.1.5.2

Combine os termos.

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Etapa 3.1.5.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Etapa 3.1.5.2.2

Some $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{5} \int 2 u^{2} d u$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $u$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} (2 \int u^{2} d u)$

Etapa 5

Combine $2$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} \int u^{2} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva $\frac{2}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ como $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{5 \cdot 3} u^{3} + C$

Etapa 7.2.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{2}{15} u^{3} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$\frac{2}{15} {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{3} + C$