Cálculo Exemplos

$\int \sin (t) \sqrt{1 + \cos (t)} d t$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + \cos (t)$ . Depois, $d u = - \sin (t) d t$ , então, $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + \cos (t)$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + \cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (t)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \cos (t)$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Etapa 1.1.3

A derivada de $\cos (t)$ em relação a $t$ é $- \sin (t)$ .

$0 - \sin (t)$

Etapa 1.1.4

Subtraia $\sin (t)$ de $0$ .

$- \sin (t)$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - 1 \sqrt{u} d u$

Etapa 2

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \sqrt{u} d u$

Etapa 3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 5

Reescreva $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + \cos (t)$ .

$- \frac{2}{3} {(1 + \cos (t))}^{\frac{3}{2}} + C$