Cálculo Exemplos

\int \sin (t) \sqrt{1 + \cos (t)} d t

$\int \sin (t) \sqrt{1 + \cos (t)} d t$

Etapa 1

Deixe

u = 1 + \cos (t)

$u = 1 + \cos (t)$ . Depois,

d u = - \sin (t) d t

$d u = - \sin (t) d t$ , então,

- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t

$- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Reescreva usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe

u = 1 + \cos (t)

$u = 1 + \cos (t)$ . Encontre

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie

1 + \cos (t)

$1 + \cos (t)$ .

\frac{d}{d t} [1 + \cos (t)]

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (t)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

1 + \cos (t)

$1 + \cos (t)$ com relação a

t

$t$ é

\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Etapa 1.1.2.2

Como

1

$1$ é constante em relação a

t

$t$ , a derivada de

1

$1$ em relação a

t

$t$ é

0

$0$ .

0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Etapa 1.1.3

A derivada de

\cos (t)

$\cos (t)$ em relação a

t

$t$ é

- \sin (t)

$- \sin (t)$ .

0 - \sin (t)

$0 - \sin (t)$

Etapa 1.1.4

Subtraia

\sin (t)

$\sin (t)$ de

0

$0$ .

- \sin (t)

$- \sin (t)$

- \sin (t)

$- \sin (t)$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando

u

$u$ e

d u

$d u$ .

\int - 1 \sqrt{u} d u

$\int - 1 \sqrt{u} d u$

\int - 1 \sqrt{u} d u

$\int - 1 \sqrt{u} d u$

Etapa 2

Como

- 1

$- 1$ é constante com relação a

u

$u$ , mova

- 1

$- 1$ para fora da integral.

- \int \sqrt{u} d u

$- \int \sqrt{u} d u$

Etapa 3

Use

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

\sqrt{u}

$\sqrt{u}$ como

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ .

- \int u^{\frac{1}{2}} d u

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de

u^{\frac{1}{2}}

$u^{\frac{1}{2}}$ com relação a

u

$u$ é

\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 5

Reescreva

- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como

- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de

u

$u$ por

1 + \cos (t)

$1 + \cos (t)$ .

- \frac{2}{3} {(1 + \cos (t))}^{\frac{3}{2}} + C

$- \frac{2}{3} {(1 + \cos (t))}^{\frac{3}{2}} + C$