Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x^{4}}}}{x^{5}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \frac{1}{x^{4}}$ . Depois, $d u = - \frac{4}{x^{5}} d x$ , então, $1 d u = - \frac{4}{x^{5}} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \frac{1}{x^{4}}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 1.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Etapa 1.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Etapa 1.1.2.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$- 4 x^{- 5}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 1.1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 1.1.4.2.1

Combine $- 4$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}}$

Etapa 1.1.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{x^{5}}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \frac{1}{x^{4}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{1^{4}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

Etapa 1.3.2

Divida $1$ por $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \frac{1}{x^{4}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2^{4}}$

Etapa 1.5

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$u_{upper} = \frac{1}{16}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{16}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{\frac{1}{16}} - \frac{1}{4} e^{u} d u$

Etapa 2

Como $- \frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $- \frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{4} \int_{1}^{\frac{1}{16}} e^{u} d u$

Etapa 3

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u}]_{1}^{\frac{1}{16}}$

Etapa 4

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.1

Avalie $e^{u}$ em $\frac{1}{16}$ e em $1$ .

$- \frac{1}{4} ((e^{\frac{1}{16}}) - e^{1})$

Etapa 4.2

Simplifique.

$- \frac{1}{4} (e^{\frac{1}{16}} - e)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{16}} - \frac{1}{4} (- e)$

Etapa 5.2

Combine $e^{\frac{1}{16}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} - \frac{1}{4} (- e)$

Etapa 5.3

Multiplique $- \frac{1}{4} (- e)$ .

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Etapa 5.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + 1 (\frac{1}{4}) e$

Etapa 5.3.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{1}{4} e$

Etapa 5.3.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $e$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{e}{4}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{e^{\frac{1}{16}}}{4} + \frac{e}{4}$

Forma decimal:

$0.41344684 \dots$

Etapa 7