Cálculo Exemplos

\frac{x}{x + 1}

$\frac{x}{x + 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que

f (x) = x

$f (x) = x$ e

g (x) = x + 1

$g (x) = x + 1$ .

\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

\frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique

x + 1

$x + 1$ por

1

$1$ .

\frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}

$\frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de

x + 1

$x + 1$ com relação a

x

$x$ é

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

\frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}

$\frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

\frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}

$\frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como

1

$1$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

1

$1$ em relação a

x

$x$ é

0

$0$ .

\frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}

$\frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.6.1

Some

1

$1$ e

0

$0$ .

\frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}

$\frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

\frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}

$\frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.3

Subtraia

x

$x$ de

x

$x$ .

\frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}

$\frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.4

Some

0

$0$ e

1

$1$ .

\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$