Cálculo Exemplos

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

Step 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Avalie o limite de

x

$x$ substituindo

0

$0$ por

x

$x$ .

\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

O valor exato de

\sin (0)

$\sin (0)$ é

0

$0$ .

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Avalie o limite de

x

$x$ substituindo

0

$0$ por

x

$x$ .

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

A expressão contém uma divisão por

0

$0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Step 2

Como

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Step 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie o numerador e o denominador.

lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

A derivada de

\sin (x)

$\sin (x)$ em relação a

x

$x$ é

\cos (x)

$\cos (x)$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

Step 4

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Divida

\cos (x)

$\cos (x)$ por

1

$1$ .

lim_{x \to 0} \cos (x)

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

\cos (lim_{x \to 0} x)

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

\cos (lim_{x \to 0} x)

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

Step 5

Avalie o limite de

x

$x$ substituindo

0

$0$ por

x

$x$ .

\cos (0)

$\cos (0)$

Step 6

O valor exato de

\cos (0)

$\cos (0)$ é

1

$1$ .

1

$1$