Cálculo Exemplos

$g (t) = \frac{t}{t - 8}$ on $10$ , $12$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = t - 8$ .

$\frac{(t - 8) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(t - 8) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Multiplique $t - 8$ por $1$ .

$\frac{t - 8 - t \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t - 8$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$\frac{t - 8 - t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{t - 8 - t (1 + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

Como $- 8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 8$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{t - 8 - t (1 + 0)}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{t - 8 - t \cdot 1}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{t - 8 - t}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6.3

Subtraia $t$ de $t$ .

$\frac{0 - 8}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.6.4.1

Subtraia $8$ de $0$ .

$\frac{- 8}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (t) = - \frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $g (t)$ com relação a $t$ é $- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$ .

$- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$8 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $8 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Defina o denominador em $\frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(t - 8)}^{2} = 0$

Etapa 1.3.2

Resolva $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Defina $t - 8$ como igual a $0$ .

$t - 8 = 0$

Etapa 1.3.2.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$t = 8$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{t}{t - 8}$ em cada valor $t$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $t = 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $8$ por $t$ .

$\frac{8}{(8) - 8}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Subtraia $8$ de $8$ .

$\frac{8}{0}$

Etapa 1.4.1.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.5

Não há valores de $t$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $t = 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $10$ por $t$ .

$\frac{10}{(10) - 8}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Cancele o fator comum de $10$ e $(10) - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{2 (5)}{(10) - 8}$

Etapa 2.1.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 5 - 8}$

Etapa 2.1.2.1.2.2

Fatore $2$ de $- 8$ .

$\frac{2 (5)}{2 \cdot 5 + 2 \cdot - 4}$

Etapa 2.1.2.1.2.3

Fatore $2$ de $2 \cdot 5 + 2 \cdot - 4$ .

$\frac{2 (5)}{2 \cdot (5 - 4)}$

Etapa 2.1.2.1.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot (5 - 4)}$

Etapa 2.1.2.1.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{5 - 4}$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Subtraia $4$ de $5$ .

$\frac{5}{1}$

Etapa 2.1.2.2.2

Divida $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 2.2

Avalie em $t = 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $12$ por $t$ .

$\frac{12}{(12) - 8}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $12$ e $(12) - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{4 (3)}{(12) - 8}$

Etapa 2.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 3 - 8}$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Fatore $4$ de $- 8$ .

$\frac{4 (3)}{4 \cdot 3 + 4 \cdot - 2}$

Etapa 2.2.2.1.2.3

Fatore $4$ de $4 \cdot 3 + 4 \cdot - 2$ .

$\frac{4 (3)}{4 \cdot (3 - 2)}$

Etapa 2.2.2.1.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot (3 - 2)}$

Etapa 2.2.2.1.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{3 - 2}$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{3}{1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Divida $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(10, 5), (12, 3)$

Etapa 3

Compare os valores de $g (t)$ encontrados para cada valor de $t$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $g (t)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $g (t)$ .

Máximo absoluto: $(10, 5)$

Mínimo absoluto: $(12, 3)$

Etapa 4