Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2}{x^{4} - 16}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x^{4} - 16}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

Etapa 1.1.2

Reescreva $\frac{1}{x^{4} - 16}$ como ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4} - 16$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4} - 16$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} - 16$ .

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Etapa 1.3.4

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

Etapa 1.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.5.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

Etapa 1.3.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

Etapa 1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Etapa 1.5

Combine os termos.

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Etapa 1.5.1

Combine $- 8$ e $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Etapa 1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Etapa 1.5.3

Combine $x^{3}$ e $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.5.4

Mova $8$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = {(x^{4} - 16)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.3.3

Mova $3$ para a esquerda de ${(x^{4} - 16)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 \cdot ({(x^{4} - 16)}^{2} x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{4} - 16$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4} - 16$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 u \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} - 16$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 (x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.5.4

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (4 x^{3} + 0))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.5.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.5.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (4 x^{3}))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.5.5.2

Mova $4$ para a esquerda de $x^{4} - 16$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} (4 \cdot ((x^{4} - 16) x^{3}))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.5.5.3

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{3} ((x^{4} - 16) x^{3})}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{3 + 3} (x^{4} - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.7

Some $3$ e $3$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.8

Combine $- 8$ e $\frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10

Simplifique.

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Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} x^{4} - 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.10.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.10.3.1.1

Reescreva ${(x^{4} - 16)}^{2}$ como $(x^{4} - 16) (x^{4} - 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 ((x^{4} - 16) (x^{4} - 16)) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.2

Expanda $(x^{4} - 16) (x^{4} - 16)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.10.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4} (x^{4} - 16) - 16 (x^{4} - 16)) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 16 - 16 (x^{4} - 16)) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 16 - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.10.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.10.3.1.3.1.1

Multiplique $x^{4}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.10.3.1.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4 + 4} + x^{4} \cdot - 16 - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.3.1.1.2

Some $4$ e $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} + x^{4} \cdot - 16 - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.3.1.2

Mova $- 16$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} - 16 \cdot x^{4} - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.3.1.3

Multiplique $- 16$ por $- 16$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} - 16 x^{4} - 16 x^{4} + 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.3.2

Subtraia $16 x^{4}$ de $- 16 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} - 32 x^{4} + 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 ((3 x^{8} + 3 (- 32 x^{4}) + 3 \cdot 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.1.5.1

Multiplique $- 32$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{8 ((3 x^{8} - 96 x^{4} + 3 \cdot 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.5.2

Multiplique $3$ por $256$ .

$f'' (x) = - \frac{8 ((3 x^{8} - 96 x^{4} + 768) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{8} x^{2} - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.1.7.1

Multiplique $x^{8}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.1.7.1.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{2} x^{8}) - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{2 + 8} - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.7.1.3

Some $2$ e $8$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.7.2

Multiplique $x^{4}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.10.3.1.7.2.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 (x^{2} x^{4}) + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 x^{2 + 4} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.7.2.3

Some $2$ e $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 x^{6} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10}) + 8 (- 96 x^{6}) + 8 (768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.9

Simplifique.

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Etapa 2.10.3.1.9.1

Multiplique $3$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} + 8 (- 96 x^{6}) + 8 (768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.9.2

Multiplique $- 96$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 8 (768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.9.3

Multiplique $768$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.10

Multiplique $x^{6}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.10.3.1.10.1

Mova $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 (x^{4} x^{6})) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.10.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 x^{4 + 6}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.10.3

Some $4$ e $6$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 x^{10}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.11

Multiplique $- 8$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} - 64 x^{10} + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.12

Multiplique $- 16$ por $- 8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} - 64 x^{10} + 8 (128 x^{6})}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.1.13

Multiplique $128$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} - 64 x^{10} + 1024 x^{6}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.2

Subtraia $64 x^{10}$ de $24 x^{10}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 40 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 1024 x^{6}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.3.3

Some $- 768 x^{6}$ e $1024 x^{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 40 x^{10} + 256 x^{6} + 6144 x^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.1

Fatore $8 x^{2}$ de $- 40 x^{10} + 256 x^{6} + 6144 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.1.1

Fatore $8 x^{2}$ de $- 40 x^{10}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 256 x^{6} + 6144 x^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.4.1.2

Fatore $8 x^{2}$ de $256 x^{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 8 x^{2} (32 x^{4}) + 6144 x^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.4.1.3

Fatore $8 x^{2}$ de $6144 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 8 x^{2} (32 x^{4}) + 8 x^{2} (768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.4.1.4

Fatore $8 x^{2}$ de $8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 8 x^{2} (32 x^{4})$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8} + 32 x^{4}) + 8 x^{2} (768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.4.1.5

Fatore $8 x^{2}$ de $8 x^{2} (- 5 x^{8} + 32 x^{4}) + 8 x^{2} (768)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8} + 32 x^{4} + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.4.2

Reescreva $x^{8}$ como ${(x^{4})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 {(x^{4})}^{2} + 32 x^{4} + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.4.3

Deixe $u = x^{4}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} + 32 u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.4.4

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 5 \cdot 768 = - 3840$ e cuja soma é $b = 32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.4.1.1

Fatore $32$ de $32 u$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} + 32 (u) + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.4.4.1.2

Reescreva $32$ como $- 48$ mais $80$

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} + (- 48 + 80) u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.4.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} - 48 u + 80 u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.4.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 u^{2} - 48 u) + 80 u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.4.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (u (- 5 u - 48) - 16 (- 5 u - 48))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.4.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 5 u - 48$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 u - 48) (u - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.4.6

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) ({(x^{2})}^{2} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.4.7

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) ({(x^{2})}^{2} - 4^{2}))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.4.8

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.4.9

Fatore.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.10.5.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{({(x^{2})}^{2} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.10.5.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{4}}$

Etapa 2.10.5.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{4}}$

Etapa 2.10.5.4

Simplifique.

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Etapa 2.10.5.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{4}}$

Etapa 2.10.5.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{4}}$

Etapa 2.10.5.5

Aplique a regra do produto a $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 2.10.5.6

Expanda $(x^{2} + 4) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.10.5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 2.10.5.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 2.10.5.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 2.10.5.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.10.5.7.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.10.5.7.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 2.10.5.7.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 2.10.5.7.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 2.10.5.7.1.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 2.10.5.7.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 2.10.5.7.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 2.10.5.8

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.5.8.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{3} + 2 x^{2}) + 4 x + 8)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 2.10.5.8.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 2.10.5.9

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x + 2) (x^{2} + 4))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 2.10.5.10

Aplique a regra do produto a $(x + 2) (x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 2.10.6

Cancele o fator comum de $x^{2} + 4$ e ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.6.1

Fatore $x^{2} + 4$ de $8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2))}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 2.10.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.6.2.1

Fatore $x^{2} + 4$ de ${(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2))}{(x^{2} + 4) ({(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Etapa 2.10.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2))}{(x^{2} + 4) ({(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Etapa 2.10.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2)}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 2.10.7

Cancele o fator comum de $x + 2$ e ${(x + 2)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.7.1

Fatore $x + 2$ de $(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2))}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 2.10.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.7.2.1

Fatore $x + 2$ de ${(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Etapa 2.10.7.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Etapa 2.10.7.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 2.10.8

Cancele o fator comum de $x - 2$ e ${(x - 2)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.8.1

Fatore $x - 2$ de $(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48))}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 2.10.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.8.2.1

Fatore $x - 2$ de ${(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Etapa 2.10.8.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Etapa 2.10.8.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.10.9

Fatore $- 1$ de $- 5 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- (5 x^{4}) - 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.10.10

Reescreva $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- (5 x^{4}) - 1 \cdot 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.10.11

Fatore $- 1$ de $- (5 x^{4}) - 1 (48)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- (5 x^{4} + 48))}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.10.12

Reescreva $- (5 x^{4} + 48)$ como $- 1 (5 x^{4} + 48)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 1 (5 x^{4} + 48))}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.10.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.10.14

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}})$

Etapa 2.10.15

Multiplique $\frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.10.16

Reordene os fatores em $\frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x^{4} - 16}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

Etapa 4.1.1.2

Reescreva $\frac{1}{x^{4} - 16}$ como ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4} - 16$ .

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Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4} - 16$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} - 16$ .

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

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Etapa 4.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Etapa 4.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Etapa 4.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Etapa 4.1.3.4

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

Etapa 4.1.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.3.5.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

Etapa 4.1.3.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

Etapa 4.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Etapa 4.1.5

Combine os termos.

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Etapa 4.1.5.1

Combine $- 8$ e $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Etapa 4.1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Etapa 4.1.5.3

Combine $x^{3}$ e $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.5.4

Mova $8$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$f' (x) = - \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$8 x^{3} = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $8 x^{3} = 0$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Divida cada termo em $8 x^{3} = 0$ por $8$ .

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Etapa 5.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Etapa 5.3.1.2.1.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{8}$

Etapa 5.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1

Divida $0$ por $8$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 5.3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.3.3

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 5.3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Etapa 6.2.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Etapa 6.2.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Etapa 6.2.1.4.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.4.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Etapa 6.2.1.4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Etapa 6.2.1.5

Aplique a regra do produto a $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.2.1.6

Aplique a regra do produto a $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.2.3

Defina ${(x^{2} + 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Defina ${(x^{2} + 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Etapa 6.2.3.2

Resolva ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.1

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Etapa 6.2.3.2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 4$

Etapa 6.2.3.2.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Etapa 6.2.3.2.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.2.3.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Etapa 6.2.3.2.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Etapa 6.2.3.2.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Etapa 6.2.3.2.2.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 6.2.3.2.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Etapa 6.2.3.2.2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Etapa 6.2.3.2.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i$

Etapa 6.2.3.2.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i$

Etapa 6.2.3.2.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i, - 2 i$

Etapa 6.2.4

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.2.4.2

Resolva ${(x + 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 6.2.4.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6.2.5

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.5.1

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.2.5.2

Resolva ${(x - 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.5.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 6.2.5.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 6.2.6

A solução final são todos os valores que tornam ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

Etapa 6.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{8 {(0)}^{2} (5 {(0)}^{4} + 48)}{{((0) + 2)}^{3} {({(0)}^{2} + 4)}^{3} {((0) - 2)}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{8 \cdot 0^{2} (5 \cdot 0 + 48)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{8 \cdot 0^{2} (0 + 48)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.1.3

Some $0$ e $48$ .

$\frac{8 \cdot 0^{2} \cdot 48}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.1.4

Multiplique $48$ por $8$ .

$\frac{384 \cdot 0^{2}}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{384 \cdot 0}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Reescreva $0$ como $- 1 (0)$ .

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1 (0) + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.2.2

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.2.3

Fatore $- 1$ de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$ .

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1 \cdot (0 - 2))}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.2.4

Aplique a regra do produto a $- 1 \cdot (0 - 2)$ .

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.2.5

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.2.6

Multiplique ${(0 - 2)}^{3}$ por ${(0 - 2)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.6.1

Mova ${(0 - 2)}^{3}$ .

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}) {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 9.2.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3 + 3} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 9.2.6.3

Some $3$ e $3$ .

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 9.3

Multiplique $384$ por $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 9.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Subtraia $2$ de $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 9.4.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0 + 4)}^{3}}$

Etapa 9.4.3

Some $0$ e $4$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} \cdot 4^{3}}$

Etapa 9.4.4

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.4.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 1 (2))}^{6} \cdot 4^{3}}$

Etapa 9.4.4.2

Aplique a regra do produto a $- 1 (2)$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot ({(- 1)}^{6} \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

Etapa 9.4.4.3

Eleve $- 1$ à potência de $6$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (1 \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

Etapa 9.4.4.4

Multiplique $2^{6}$ por $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 2^{6} \cdot 4^{3}}$

Etapa 9.4.4.5

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot ({(2^{2})}^{3} \cdot 2^{6})}$

Etapa 9.4.4.6

Multiplique os expoentes em ${(2^{2})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.4.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (2^{2 \cdot 3} \cdot 2^{6})}$

Etapa 9.4.4.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (2^{6} \cdot 2^{6})}$

Etapa 9.4.4.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{0}{- 1 \cdot 2^{6 + 6}}$

Etapa 9.4.4.8

Some $6$ e $6$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 2^{12}}$

Etapa 9.4.5

Eleve $2$ à potência de $12$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 4096}$

Etapa 9.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

Multiplique $- 1$ por $4096$ .

$\frac{0}{- 4096}$

Etapa 9.5.2

Divida $0$ por $- 4096$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = - \frac{8 {(- 4)}^{3}}{{({(- 4)}^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{{({(- 4)}^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1

Eleve $- 4$ à potência de $4$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{{(256 - 16)}^{2}}$

Etapa 10.2.2.2.2

Subtraia $16$ de $256$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{240^{2}}$

Etapa 10.2.2.2.3

Eleve $240$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{57600}$

Etapa 10.2.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.3.1

Multiplique $8$ por $- 64$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 512}{57600}$

Etapa 10.2.2.3.2

Cancele o fator comum de $- 512$ e $57600$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.3.2.1

Fatore $256$ de $- 512$ .

$f' (- 4) = - \frac{256 (- 2)}{57600}$

Etapa 10.2.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.3.2.2.1

Fatore $256$ de $57600$ .

$f' (- 4) = - \frac{256 \cdot - 2}{256 \cdot 225}$

Etapa 10.2.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (- 4) = - \frac{256 \cdot - 2}{256 \cdot 225}$

Etapa 10.2.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (- 4) = - \frac{- 2}{225}$

Etapa 10.2.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 4) = \frac{2}{225}$

Etapa 10.2.2.4

A resposta final é $\frac{2}{225}$ .

$\frac{2}{225}$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $1$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - \frac{8 {(1)}^{3}}{{({(1)}^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(1^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 10.3.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(1 - 16)}^{2}}$

Etapa 10.3.2.2.2

Subtraia $16$ de $1$ .

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(- 15)}^{2}}$

Etapa 10.3.2.2.3

Eleve $- 15$ à potência de $2$ .

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{225}$

Etapa 10.3.2.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{225}$

Etapa 10.3.2.4

A resposta final é $- \frac{8}{225}$ .

$- \frac{8}{225}$

Etapa 10.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um máximo local.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11