Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - x - 4$ ; between $1$ and $7$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 1 + 0$

Etapa 1.1.1.3.2

Some $3 x^{2} - 1$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 1$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 1$ .

$3 x^{2} - 1$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 1 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 1 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} = 1$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $3 x^{2} = 1$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.2.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 1.2.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.2.5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 1.2.5.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.5.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.5.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 1.2.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x^{3} - x - 4$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $x$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.2.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.2.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{\sqrt{27}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.2.3

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.2.3.1

Fatore $9$ de $27$ .

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.2.3.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{27} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.4.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3})}{27} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.4.2.1

Fatore $3$ de $27$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3}}{9} - (\frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3}}{3} - 4$

Etapa 1.4.1.2.2

Para escrever $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 4$

Etapa 1.4.1.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 4$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{9} - 4$

Etapa 1.4.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3}{9} - 4$

Etapa 1.4.1.2.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.5.1.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{9} - 4$

Etapa 1.4.1.2.5.1.2

Subtraia $3 \sqrt{3}$ de $\sqrt{3}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{9} - 4$

Etapa 1.4.1.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 4$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ por $x$ .

${(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.3.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.3.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.3.3

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.3.3.1

Fatore $9$ de $27$ .

$- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.3.3.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.3.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{27} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.5

Cancele o fator comum de $3$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.5.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{3 (\sqrt{3})}{27} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.5.2.1

Fatore $3$ de $27$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{\sqrt{3}}{9} - (- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.6

Multiplique $- (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + 1 \frac{\sqrt{3}}{3} - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.6.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3} - 4$

Etapa 1.4.2.2.2

Para escrever $\frac{\sqrt{3}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 4$

Etapa 1.4.2.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 4$

Etapa 1.4.2.2.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{9} - 4$

Etapa 1.4.2.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3}{9} - 4$

Etapa 1.4.2.2.4.2

Reordene os fatores de $\sqrt{3} \cdot 3$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{9} - 4$

Etapa 1.4.2.2.5

Some $- \sqrt{3}$ e $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{9} - 4$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 4), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{9} - 4)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

${(1)}^{3} - (1) - 4$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - (1) - 4$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 - 1 - 4$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$0 - 4$

Etapa 3.1.2.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$- 4$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua $7$ por $x$ .

${(7)}^{3} - (7) - 4$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$343 - (7) - 4$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$343 - 7 - 4$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Subtraia $7$ de $343$ .

$336 - 4$

Etapa 3.2.2.2.2

Subtraia $4$ de $336$ .

$332$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(1, - 4), (7, 332)$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(7, 332)$

Mínimo absoluto: $(1, - 4)$

Etapa 5