Cálculo Exemplos

$f (x) = - 2 x^{3} + 21 x^{2} - 36 x$ on $0$ , $7$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{3} + 21 x^{2} - 36 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [21 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $21$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $21 x^{2}$ em relação a $x$ é $21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 x^{2} + 21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 6 x^{2} + 21 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $21$ .

$- 6 x^{2} + 42 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{2} + 42 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 x^{2} + 42 x - 36 \cdot 1$

Etapa 1.1.1.4.3

Multiplique $- 36$ por $1$ .

$f' (x) = - 6 x^{2} + 42 x - 36$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 6 x^{2} + 42 x - 36$ .

$- 6 x^{2} + 42 x - 36$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 6 x^{2} + 42 x - 36 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 6 x^{2} + 42 x - 36 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $- 6$ de $- 6 x^{2} + 42 x - 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $- 6$ de $- 6 x^{2}$ .

$- 6 x^{2} + 42 x - 36 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $- 6$ de $42 x$ .

$- 6 x^{2} - 6 (- 7 x) - 36 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $- 6$ de $- 36$ .

$- 6 x^{2} - 6 (- 7 x) - 6 \cdot 6 = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Fatore $- 6$ de $- 6 (x^{2}) - 6 (- 7 x)$ .

$- 6 (x^{2} - 7 x) - 6 \cdot 6 = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $- 6$ de $- 6 (x^{2} - 7 x) - 6 (6)$ .

$- 6 (x^{2} - 7 x + 6) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 7 x + 6$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $6$ e cuja soma é $- 7$ .

$- 6, - 1$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 6 ((x - 6) (x - 1)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 6 (x - 6) (x - 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 6 (x - 6) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 6, 1$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $- 2 x^{3} + 21 x^{2} - 36 x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $6$ por $x$ .

$- 2 {(6)}^{3} + 21 {(6)}^{2} - 36 \cdot 6$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$- 2 \cdot 216 + 21 {(6)}^{2} - 36 \cdot 6$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $216$ .

$- 432 + 21 {(6)}^{2} - 36 \cdot 6$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$- 432 + 21 \cdot 36 - 36 \cdot 6$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Multiplique $21$ por $36$ .

$- 432 + 756 - 36 \cdot 6$

Etapa 1.4.1.2.1.5

Multiplique $- 36$ por $6$ .

$- 432 + 756 - 216$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Some $- 432$ e $756$ .

$324 - 216$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Subtraia $216$ de $324$ .

$108$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$- 2 {(1)}^{3} + 21 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 2 \cdot 1 + 21 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 + 21 {(1)}^{2} - 36 \cdot 1$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 2 + 21 \cdot 1 - 36 \cdot 1$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Multiplique $21$ por $1$ .

$- 2 + 21 - 36 \cdot 1$

Etapa 1.4.2.2.1.5

Multiplique $- 36$ por $1$ .

$- 2 + 21 - 36$

Etapa 1.4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1

Some $- 2$ e $21$ .

$19 - 36$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Subtraia $36$ de $19$ .

$- 17$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(6, 108), (1, - 17)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$- 2 {(0)}^{3} + 21 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 2 \cdot 0 + 21 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0$

Etapa 2.1.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$0 + 21 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0$

Etapa 2.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 21 \cdot 0 - 36 \cdot 0$

Etapa 2.1.2.1.4

Multiplique $21$ por $0$ .

$0 + 0 - 36 \cdot 0$

Etapa 2.1.2.1.5

Multiplique $- 36$ por $0$ .

$0 + 0 + 0$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Etapa 2.1.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $7$ por $x$ .

$- 2 {(7)}^{3} + 21 {(7)}^{2} - 36 \cdot 7$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$- 2 \cdot 343 + 21 {(7)}^{2} - 36 \cdot 7$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $343$ .

$- 686 + 21 {(7)}^{2} - 36 \cdot 7$

Etapa 2.2.2.1.3

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$- 686 + 21 \cdot 49 - 36 \cdot 7$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $21$ por $49$ .

$- 686 + 1029 - 36 \cdot 7$

Etapa 2.2.2.1.5

Multiplique $- 36$ por $7$ .

$- 686 + 1029 - 252$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Some $- 686$ e $1029$ .

$343 - 252$

Etapa 2.2.2.2.2

Subtraia $252$ de $343$ .

$91$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (7, 91)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(6, 108)$

Mínimo absoluto: $(1, - 17)$

Etapa 4