Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin^{2} (x)$ on $[0, π]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 1.1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.3.1

Reordene os fatores de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 1.1.1.3.2

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Etapa 1.1.1.3.3

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Etapa 1.1.1.3.4

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$f' (x) = \sin (2 x)$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x)$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\sin (2 x) = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Etapa 1.2.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x = \arcsin (0)$

Etapa 1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$2 x = 0$

Etapa 1.2.4

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.4.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$2 x = π - 0$

Etapa 1.2.6

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.6.1

Simplifique.

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Etapa 1.2.6.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 x = π + 0$

Etapa 1.2.6.1.2

Some $π$ e $0$ .

$2 x = π$

Etapa 1.2.6.2

Divida cada termo em $2 x = π$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.6.2.1

Divida cada termo em $2 x = π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.6.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.6.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.7

Encontre o período de $\sin (2 x)$ .

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Etapa 1.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.7.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 1.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 1.2.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 1.2.7.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 1.2.8

O período da função $\sin (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.9

Consolide as respostas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $\sin^{2} (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\sin^{2} (0)$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$0^{2}$

Etapa 1.4.1.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 1.4.2.1

Substitua $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$\sin^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.2.2.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$1^{2}$

Etapa 1.4.2.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(0 + π n, 0), (\frac{π}{2} + π n, 1)$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(\frac{π}{2}, 1)$

Etapa 3

Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.

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Etapa 3.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \infty)$

Etapa 3.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $\sin (2 x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 3.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = \sin (2 (- 2))$

Etapa 3.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.2.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = \sin (- 4)$

Etapa 3.2.2.2

Avalie $\sin (- 4)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249$

Etapa 3.2.2.3

A resposta final é $0.75680249$ .

$0.75680249$

Etapa 3.3

Substitua qualquer número, como $1$ , do intervalo $(0, \frac{π}{2})$ na primeira derivada $\sin (2 x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = \sin (2 (1))$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (1) = \sin (2)$

Etapa 3.3.2.2

Avalie $\sin (2)$ .

$f' (1) = 0.90929742$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $0.90929742$ .

$0.90929742$

Etapa 3.4

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(\frac{π}{2}, π)$ na primeira derivada $\sin (2 x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 3.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = \sin (2 (2))$

Etapa 3.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (2) = \sin (4)$

Etapa 3.4.2.2

Avalie $\sin (4)$ .

$f' (2) = - 0.75680249$

Etapa 3.4.2.3

A resposta final é $- 0.75680249$ .

$- 0.75680249$

Etapa 3.5

Substitua qualquer número, como $6$ , do intervalo $(π, \infty)$ na primeira derivada $\sin (2 x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 3.5.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f' (6) = \sin (2 (6))$

Etapa 3.5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.5.2.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$f' (6) = \sin (12)$

Etapa 3.5.2.2

Avalie $\sin (12)$ .

$f' (6) = - 0.53657291$

Etapa 3.5.2.3

A resposta final é $- 0.53657291$ .

$- 0.53657291$

Etapa 3.6

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 3.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{π}{2}$ , então $x = \frac{π}{2}$ é um máximo local.

$x = \frac{π}{2}$ é um máximo local

Etapa 3.8

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = π$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 3.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = \sin^{2} (x)$ .

$x = \frac{π}{2}$ é um máximo local

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{π}{2}, 1)$

Nenhum mínimo absoluto

Etapa 5