Cálculo Exemplos

$h (x) = x^{\frac{1}{5}} - 8$ , $[- 32, 1]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{1}{5}} - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.1.1.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.1.1.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.1.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.1.1.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.1.1.2.5.2

Subtraia $5$ de $1$ .

$\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.1.1.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.1.1.3

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + 0$

Etapa 1.1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} + 0$

Etapa 1.1.1.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 0$

Etapa 1.1.1.4.2.2

Some $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $h (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{1}{5 \sqrt[5]{x^{4}}}$

Etapa 1.3.2

Defina o denominador em $\frac{1}{5 \sqrt[5]{x^{4}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$5 \sqrt[5]{x^{4}} = 0$

Etapa 1.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve os dois lados da equação à $5$ ª potência.

${(5 \sqrt[5]{x^{4}})}^{5} = 0^{5}$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{x^{4}}$ como $x^{\frac{4}{5}}$ .

${(5 x^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Etapa 1.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1

Simplifique ${(5 x^{\frac{4}{5}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $5 x^{\frac{4}{5}}$ .

$5^{5} {(x^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $5$ .

$3125 {(x^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{4}{5}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 x^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$3125 x^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$3125 x^{4} = 0^{5}$

Etapa 1.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3125 x^{4} = 0$

Etapa 1.3.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1

Divida cada termo em $3125 x^{4} = 0$ por $3125$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1.1

Divida cada termo em $3125 x^{4} = 0$ por $3125$ .

$\frac{3125 x^{4}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Etapa 1.3.3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $3125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3125 x^{4}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Etapa 1.3.3.3.1.2.1.2

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} = \frac{0}{3125}$

Etapa 1.3.3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1.3.1

Divida $0$ por $3125$ .

$x^{4} = 0$

Etapa 1.3.3.3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Etapa 1.3.3.3.3

Simplifique $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.3.1

Reescreva $0$ como $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Etapa 1.3.3.3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 1.3.3.3.3.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.4

Avalie $x^{\frac{1}{5}} - 8$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{\frac{1}{5}} - 8$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

${(0^{5})}^{\frac{1}{5}} - 8$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{5 (\frac{1}{5})} - 8$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$0^{5 (\frac{1}{5})} - 8$

Etapa 1.4.1.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$0^{1} - 8$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Avalie o expoente.

$0 - 8$

Etapa 1.4.1.2.2

Subtraia $8$ de $0$ .

$- 8$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(0, - 8)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = - 32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 32$ por $x$ .

${(- 32)}^{\frac{1}{5}} - 8$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Reescreva $- 32$ como ${(- 2)}^{5}$ .

${({(- 2)}^{5})}^{\frac{1}{5}} - 8$

Etapa 2.1.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 2)}^{5 (\frac{1}{5})} - 8$

Etapa 2.1.2.1.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

${(- 2)}^{5 (\frac{1}{5})} - 8$

Etapa 2.1.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

${(- 2)}^{1} - 8$

Etapa 2.1.2.1.4

Avalie o expoente.

$- 2 - 8$

Etapa 2.1.2.2

Subtraia $8$ de $- 2$ .

$- 10$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

${(1)}^{\frac{1}{5}} - 8$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 8$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $8$ de $1$ .

$- 7$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 32, - 10), (1, - 7)$

Etapa 3

Compare os valores de $h (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $h (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $h (x)$ .

Máximo absoluto: $(1, - 7)$

Mínimo absoluto: $(- 32, - 10)$

Etapa 4