Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 \sin (x) \cos (x)$ , $[\frac{π}{4}, π]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \sin (x) \cos (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 1.1.1.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 1.1.1.4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$3 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 1.1.1.5

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$3 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 1.1.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 1.1.1.7

Some $1$ e $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 1.1.1.8

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Etapa 1.1.1.9

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Etapa 1.1.1.10

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Etapa 1.1.1.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Etapa 1.1.1.12

Some $1$ e $1$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Etapa 1.1.1.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x)$

Etapa 1.1.1.13.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ .

$- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $3$ de $- 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $3$ de $- 3 \sin^{2} (x)$ .

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $3$ de $3 \cos^{2} (x)$ .

$3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $3$ de $3 (- \sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Reordene $- \sin^{2} (x)$ e $\cos^{2} (x)$ .

$3 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \cos (x)$ e $b = \sin (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 0$

Etapa 1.2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $\cos (x) + \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $\cos (x) + \sin (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $\cos (x) + \sin (x) = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.4.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.4.2.3

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.4.2.4

Separe as frações.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.4.2.5

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 1.2.4.2.6

Divida $0$ por $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 1.2.4.2.7

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Etapa 1.2.4.2.8

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\tan (x) = - 1$

Etapa 1.2.4.2.9

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Etapa 1.2.4.2.10

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.10.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.4.2.11

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 1.2.4.2.12

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.12.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 1.2.4.2.12.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 1.2.4.2.13

Encontre o período de $\tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.13.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 1.2.4.2.13.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.4.2.13.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 1.2.4.2.13.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 1.2.4.2.14

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.14.1

Some $π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Etapa 1.2.4.2.14.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.4.2.14.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.14.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.4.2.14.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 1.2.4.2.14.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.14.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 1.2.4.2.14.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 1.2.4.2.14.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 1.2.4.2.15

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.5

Defina $\cos (x) - \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $\cos (x) - \sin (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $\cos (x) - \sin (x) = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.5.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.5.2.3

Separe as frações.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.5.2.4

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.5.2.5

Divida $- 1$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.5.2.6

Separe as frações.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.5.2.7

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 1.2.5.2.8

Divida $0$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 1.2.5.2.9

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Etapa 1.2.5.2.10

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \tan (x) = - 1$

Etapa 1.2.5.2.11

Divida cada termo em $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.11.1

Divida cada termo em $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.5.2.11.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.11.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.5.2.11.2.2

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.5.2.11.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.11.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Etapa 1.2.5.2.12

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (1)$

Etapa 1.2.5.2.13

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.13.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.5.2.14

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.5.2.15

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.15.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.5.2.15.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.15.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.5.2.15.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 1.2.5.2.15.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.15.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 1.2.5.2.15.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 1.2.5.2.16

Encontre o período de $\tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.16.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 1.2.5.2.16.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.5.2.16.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 1.2.5.2.16.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 1.2.5.2.17

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $3 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.7

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $3 \sin (x) \cos (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4.1.2.2

Combine $3$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4.1.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.4.1.2.4

Multiplique $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.4.1

Multiplique $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.1.2.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.1.2.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.1.2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.1.2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.1.2.4.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Etapa 1.4.1.2.5

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Etapa 1.4.1.2.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Etapa 1.4.1.2.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Etapa 1.4.1.2.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Etapa 1.4.1.2.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

Etapa 1.4.1.2.5.5

Avalie o expoente.

$\frac{3 \cdot 2}{4}$

Etapa 1.4.1.2.6

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6}{4}$

Etapa 1.4.1.2.7

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.7.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (3)}{4}$

Etapa 1.4.1.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.7.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.1.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.1.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{2}$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = \frac{3 π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $\frac{3 π}{4}$ por $x$ .

$3 \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4})$

Etapa 1.4.2.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{3 π}{4})$

Etapa 1.4.2.2.3

Combine $3$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{3 π}{4})$

Etapa 1.4.2.2.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

Etapa 1.4.2.2.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 1.4.2.2.6

Multiplique $\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.6.1

Multiplique $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.2.2.6.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.2.2.6.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.2.2.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.2.2.6.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.2.2.6.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Etapa 1.4.2.2.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Etapa 1.4.2.2.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Etapa 1.4.2.2.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Etapa 1.4.2.2.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Etapa 1.4.2.2.7.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

Etapa 1.4.2.2.7.5

Avalie o expoente.

$- \frac{3 \cdot 2}{4}$

Etapa 1.4.2.2.8

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{6}{4}$

Etapa 1.4.2.2.9

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.9.1

Fatore $2$ de $6$ .

$- \frac{2 (3)}{4}$

Etapa 1.4.2.2.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.9.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.2.2.9.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.2.2.9.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{3}{2}$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{π}{4} + π n, \frac{3}{2}), (\frac{3 π}{4} + π n, - \frac{3}{2})$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(\frac{π}{4}, \frac{3}{2}), (\frac{3 π}{4}, - \frac{3}{2})$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie em $x = \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$3 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 3.1.2.2

Combine $3$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 3.1.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.1.2.4

Multiplique $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.1

Multiplique $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.2.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.2.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.2.4.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Etapa 3.1.2.5

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Etapa 3.1.2.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Etapa 3.1.2.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Etapa 3.1.2.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Etapa 3.1.2.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cdot 2^{1}}{4}$

Etapa 3.1.2.5.5

Avalie o expoente.

$\frac{3 \cdot 2}{4}$

Etapa 3.1.2.6

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6}{4}$

Etapa 3.1.2.7

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.7.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (3)}{4}$

Etapa 3.1.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.7.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{2}$

Etapa 3.2

Avalie em $x = π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua $π$ por $x$ .

$3 \sin (π) \cos (π)$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$3 \sin (0) \cos (π)$

Etapa 3.2.2.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$3 \cdot 0 \cos (π)$

Etapa 3.2.2.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$0 \cos (π)$

Etapa 3.2.2.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$0 (- \cos (0))$

Etapa 3.2.2.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 3.2.2.6

Multiplique $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 \cdot - 1$

Etapa 3.2.2.6.2

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{π}{4}, \frac{3}{2}), (π, 0)$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{π}{4}, \frac{3}{2})$

Mínimo absoluto: $(\frac{3 π}{4}, - \frac{3}{2})$

Etapa 5