Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x - \frac{5}{x}$ on $5$ , $7$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - \frac{5}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{5}{x}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.1.3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 - 5 (- x^{- 2})$

Etapa 1.1.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$2 + 5 x^{- 2}$

Etapa 1.1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + 5 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.1.4.2

Combine $5$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{5}{x^{2}}$

Etapa 1.1.1.4.3

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{5}{x^{2}} + 2$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{5}{x^{2}} + 2$ .

$\frac{5}{x^{2}} + 2$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{5}{x^{2}} + 2 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{5}{x^{2}} + 2 = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\frac{5}{x^{2}} = - 2$

Etapa 1.2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, 1$

Etapa 1.2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 1.2.4

Multiplique cada termo em $\frac{5}{x^{2}} = - 2$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{5}{x^{2}} = - 2$ por $x^{2}$ .

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$5 = - 2 x^{2}$

Etapa 1.2.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Reescreva a equação como $- 2 x^{2} = 5$ .

$- 2 x^{2} = 5$

Etapa 1.2.5.2

Divida cada termo em $- 2 x^{2} = 5$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Divida cada termo em $- 2 x^{2} = 5$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{5}{- 2}$

Etapa 1.2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{5}{- 2}$

Etapa 1.2.5.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{5}{- 2}$

Etapa 1.2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} = - \frac{5}{2}$

Etapa 1.2.5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$

Etapa 1.2.5.4

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.4.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{5}{2}}$

Etapa 1.2.5.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{5}{2}}$

Etapa 1.2.5.4.3

Reescreva $\sqrt{\frac{5}{2}}$ como $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

Etapa 1.2.5.4.4

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 1.2.5.4.5

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.4.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 1.2.5.4.5.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 1.2.5.4.5.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 1.2.5.4.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.2.5.4.5.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 1.2.5.4.5.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 1.2.5.4.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.5.4.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.5.4.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.5.4.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.4.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.5.4.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 1.2.5.4.5.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.2.5.4.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.4.6.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2}$

Etapa 1.2.5.4.6.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{2}$

Etapa 1.2.5.4.7

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{10}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Etapa 1.2.5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Etapa 1.2.5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Etapa 1.2.5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}, - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

Defina o denominador em $\frac{5}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 1.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 1.3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.4

Avalie $2 x - \frac{5}{x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$2 (0) - \frac{5}{0}$

Etapa 1.4.1.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.5

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $5$ por $x$ .

$2 (5) - \frac{5}{5}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 - \frac{5}{5}$

Etapa 2.1.2.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$10 - \frac{5}{5}$

Etapa 2.1.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$10 - 1 \cdot 1$

Etapa 2.1.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$10 - 1$

Etapa 2.1.2.2

Subtraia $1$ de $10$ .

$9$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $7$ por $x$ .

$2 (7) - \frac{5}{7}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Multiplique $2$ por $7$ .

$14 - \frac{5}{7}$

Etapa 2.2.2.2

Para escrever $14$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$14 \cdot \frac{7}{7} - \frac{5}{7}$

Etapa 2.2.2.3

Combine $14$ e $\frac{7}{7}$ .

$\frac{14 \cdot 7}{7} - \frac{5}{7}$

Etapa 2.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{14 \cdot 7 - 5}{7}$

Etapa 2.2.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.5.1

Multiplique $14$ por $7$ .

$\frac{98 - 5}{7}$

Etapa 2.2.2.5.2

Subtraia $5$ de $98$ .

$\frac{93}{7}$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(5, 9), (7, \frac{93}{7})$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(7, \frac{93}{7})$

Mínimo absoluto: $(5, 9)$

Etapa 4