Cálculo Exemplos

$f (θ) = \sin (θ)$ , $- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{5 π}{6}$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$f' (θ) = \cos (θ)$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (θ)$ com relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\cos (θ) = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Etapa 1.2.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (0)$

Etapa 1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.4

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.5

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 1.2.5.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.5.2

Combine frações.

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Etapa 1.2.5.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 1.2.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.5.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 1.2.5.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Etapa 1.2.6

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

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Etapa 1.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.2.7

O período da função $\cos (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.8

Consolide as respostas.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $\sin (θ)$ em cada valor $θ$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $θ = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.4.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$1$

Etapa 1.4.2

Avalie em $θ = \frac{3 π}{2}$ .

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Etapa 1.4.2.1

Substitua $\frac{3 π}{2}$ por $θ$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.2.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.4.2.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 1.4.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{π}{2} + 2 π n, 1), (\frac{3 π}{2} + 2 π n, - 1)$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(\frac{π}{2}, 1), (- \frac{π}{2}, - 1)$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 3.1

Avalie em $θ = - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua $- \frac{π}{2}$ por $θ$ .

$\sin (- \frac{π}{2})$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 3.1.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 3.1.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 3.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 3.2

Avalie em $θ = \frac{5 π}{6}$ .

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Etapa 3.2.1

Substitua $\frac{5 π}{6}$ por $θ$ .

$\sin (\frac{5 π}{6})$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\sin (\frac{π}{6})$

Etapa 3.2.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(- \frac{π}{2}, - 1), (\frac{5 π}{6}, \frac{1}{2})$

Etapa 4

Compare os valores de $f (θ)$ encontrados para cada valor de $θ$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (θ)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (θ)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{π}{2}, 1)$

Mínimo absoluto: $(- \frac{π}{2}, - 1)$

Etapa 5