Cálculo Exemplos

$f (x) = - \frac{1}{x}$ , $- 2 \leq x \leq - 1$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2.3.2

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Etapa 1.1.1.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.2.5.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Etapa 1.1.1.2.5.2

Some $x^{- 2}$ e $0$ .

$x^{- 2}$

Etapa 1.1.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 1.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 1.3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 1.3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.4

Avalie $- \frac{1}{x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$- \frac{1}{0}$

Etapa 1.4.1.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.5

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 2.1

Avalie em $x = - 2$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$- \frac{1}{- 2}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

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Etapa 2.1.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{1}{2}$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique $- - \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 2.2

Avalie em $x = - 1$ .

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Etapa 2.2.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$- \frac{1}{- 1}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$- - 1$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 2, \frac{1}{2}), (- 1, 1)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 1, 1)$

Mínimo absoluto: $(- 2, \frac{1}{2})$

Etapa 4