Cálculo Exemplos

$y = 4 \sqrt[3]{x - 1} - 3$ ; $[- 10, 10]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 \sqrt[3]{x - 1} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x - 1}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 1.1.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.1.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.1.2.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.1.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.1.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.1.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.1.2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.1.2.10.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.1.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.1.2.12

Some $1$ e $0$ .

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.1.2.13

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$4 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.1.2.14

Multiplique $\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ por $1$ .

$4 \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.1.2.15

Mova ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.1.2.16

Combine $4$ e $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Etapa 1.1.1.3.2

Some $\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $4 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{4}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$

Etapa 1.3.2

Defina o denominador em $\frac{4}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Etapa 1.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 1.3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 1.3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}$ como ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.3.2.2.1

Simplifique ${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 1.3.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 1.3.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 {(x - 1)}^{2} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 {(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 1.3.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1

Divida cada termo em $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ por $27$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1.1

Divida cada termo em $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ por $27$ .

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 1.3.3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 1.3.3.3.1.2.1.2

Divida ${(x - 1)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{27}$

Etapa 1.3.3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1.3.1

Divida $0$ por $27$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 1.3.3.3.2

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.3.3.3.3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.4

Avalie $4 \sqrt[3]{x - 1} - 3$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$4 \sqrt[3]{(1) - 1} - 3$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$4 \sqrt[3]{0} - 3$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$4 \sqrt[3]{0^{3}} - 3$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$4 \cdot 0 - 3$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 - 3$

Etapa 1.4.1.2.2

Subtraia $3$ de $0$ .

$- 3$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(1, - 3)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 2.1

Avalie em $x = - 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 10$ por $x$ .

$4 \sqrt[3]{(- 10) - 1} - 3$

Etapa 2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Subtraia $1$ de $- 10$ .

$4 \sqrt[3]{- 11} - 3$

Etapa 2.1.2.2

Reescreva $- 11$ como ${(- 1)}^{3} \cdot 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Reescreva $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$4 \sqrt[3]{- 1 (11)} - 3$

Etapa 2.1.2.2.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$4 \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 11} - 3$

Etapa 2.1.2.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$4 (- 1 \sqrt[3]{11}) - 3$

Etapa 2.1.2.4

Reescreva $- 1 \sqrt[3]{11}$ como $- \sqrt[3]{11}$ .

$4 (- \sqrt[3]{11}) - 3$

Etapa 2.1.2.5

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 \sqrt[3]{11} - 3$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $10$ por $x$ .

$4 \sqrt[3]{(10) - 1} - 3$

Etapa 2.2.2

Subtraia $1$ de $10$ .

$4 \sqrt[3]{9} - 3$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 10, - 4 \sqrt[3]{11} - 3), (10, 4 \sqrt[3]{9} - 3)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(10, 4 \sqrt[3]{9} - 3)$

Mínimo absoluto: $(- 10, - 4 \sqrt[3]{11} - 3)$

Etapa 4