Cálculo Exemplos

$f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$ , $[- 3, 1]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.3.2

Combine frações.

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Etapa 1.1.1.3.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{\frac{x}{2}}$ .

$x (\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Combine $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \cdot 1 + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.3.4

Multiplique $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2}$ por $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$

Etapa 1.1.1.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.3.6.1

Multiplique $e^{\frac{x}{2}}$ por $1$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Etapa 1.1.1.3.6.2

Reordene os fatores em $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $e^{\frac{x}{2}}$ de $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $e^{\frac{x}{2}}$ de $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} = 0$

Etapa 1.2.2.2

Multiplique por $1$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1 = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $e^{\frac{x}{2}}$ de $e^{\frac{x}{2}} \frac{x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $e^{\frac{x}{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $e^{\frac{x}{2}}$ como igual a $0$ .

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $e^{\frac{x}{2}} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{\frac{x}{2}}) = \ln (0)$

Etapa 1.2.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.2.4.2.3

Não há uma solução para $e^{\frac{x}{2}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 1.2.5

Defina $\frac{x}{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $\frac{x}{2} + 1$ como igual a $0$ .

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $\frac{x}{2} + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\frac{x}{2} = - 1$

Etapa 1.2.5.2.2

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Etapa 1.2.5.2.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 1.2.5.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.5.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

Etapa 1.2.5.2.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 \cdot - 1$

Etapa 1.2.5.2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.5.2.3.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x = - 2$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x e^{\frac{x}{2}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = - 2$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$(- 2) \cdot e^{\frac{- 2}{2}}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Divida $- 2$ por $2$ .

$- 2 \cdot e^{- 1}$

Etapa 1.4.1.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \cdot \frac{1}{e}$

Etapa 1.4.1.2.3

Combine $- 2$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{- 2}{e}$

Etapa 1.4.1.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{e}$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(- 2, - \frac{2}{e})$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 2.1

Avalie em $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

$(- 3) \cdot e^{\frac{- 3}{2}}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

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Etapa 2.1.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 3 \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 2.1.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.1.2.3

Combine $- 3$ e $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 3}{e^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.1.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{e^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 2.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$(1) \cdot e^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.2.2

Multiplique $e^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 3, - \frac{3}{e^{\frac{3}{2}}}), (1, e^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(1, e^{\frac{1}{2}})$

Mínimo absoluto: $(- 2, - \frac{2}{e})$

Etapa 4