Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 \sqrt[3]{x - 1} + 3$ ; $[- 7, 9]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \sqrt[3]{x - 1} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \sqrt[3]{x - 1}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 \sqrt[3]{x - 1}) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \sqrt[3]{x - 1}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 1.1.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 1.1.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 1.1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 1.1.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 1.1.1.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 1.1.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 1.1.1.2.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 1.1.1.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 1.1.1.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 1.1.1.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 1.1.1.2.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 1.1.1.2.10.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 1.1.1.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 1.1.1.2.12

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 1.1.1.2.13

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 1.1.1.2.14

Multiplique $\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ por $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 1.1.1.2.15

Mova ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 1.1.1.2.16

Combine $2$ e $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Etapa 1.1.1.3.2

Some $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$

Etapa 1.3.2

Defina o denominador em $\frac{2}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Etapa 1.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}$ como ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1

Simplifique ${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 {(x - 1)}^{2} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 {(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 1.3.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1

Divida cada termo em $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ por $27$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1.1

Divida cada termo em $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ por $27$ .

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 1.3.3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 1.3.3.3.1.2.1.2

Divida ${(x - 1)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{27}$

Etapa 1.3.3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1.3.1

Divida $0$ por $27$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 1.3.3.3.2

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.3.3.3.3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.4

Avalie $2 \sqrt[3]{x - 1} + 3$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$2 \sqrt[3]{(1) - 1} + 3$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$2 \sqrt[3]{0} + 3$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$2 \sqrt[3]{0^{3}} + 3$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$2 \cdot 0 + 3$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 + 3$

Etapa 1.4.1.2.2

Some $0$ e $3$ .

$3$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(1, 3)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 7$ por $x$ .

$2 \sqrt[3]{(- 7) - 1} + 3$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Subtraia $1$ de $- 7$ .

$2 \sqrt[3]{- 8} + 3$

Etapa 2.1.2.1.2

Reescreva $- 8$ como ${(- 2)}^{3}$ .

$2 \sqrt[3]{{(- 2)}^{3}} + 3$

Etapa 2.1.2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$2 \cdot - 2 + 3$

Etapa 2.1.2.1.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 4 + 3$

Etapa 2.1.2.2

Some $- 4$ e $3$ .

$- 1$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $9$ por $x$ .

$2 \sqrt[3]{(9) - 1} + 3$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Subtraia $1$ de $9$ .

$2 \sqrt[3]{8} + 3$

Etapa 2.2.2.1.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$2 \sqrt[3]{2^{3}} + 3$

Etapa 2.2.2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$2 \cdot 2 + 3$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 + 3$

Etapa 2.2.2.2

Some $4$ e $3$ .

$7$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 7, - 1), (9, 7)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(9, 7)$

Mínimo absoluto: $(- 7, - 1)$

Etapa 4