Cálculo Exemplos

$f (x) = | x + 1 |$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = | x |$ e $g (x) = x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $| u |$ em relação a $u$ é $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0)$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ por $1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = | x + 1 |$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $| x + 1 |$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = | x |$ e $g (x) = x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.3.2

A derivada de $| u |$ em relação a $u$ é $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1)))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.4.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (1 + 0))}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1)}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.4.4.2

Multiplique $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |})}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + (- x - 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |})}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.1.2

Multiplique $- x - 1$ por $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- x - 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.3.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- (x) - 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.1.3.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- (x) - 1 \cdot 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.1.3.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- (x + 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.1.3.4

Reescreva $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 (x + 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.1.3.5

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.1.3.6

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.1.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 {(x + 1)}^{1 + 1}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.1.3.8

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - \frac{{(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.2

Para escrever $| x + 1 |$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{| x + 1 |}{| x + 1 |}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x + 1 | | x + 1 |}{| x + 1 |} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x + 1 | | x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.1

Multiplique $| x + 1 | | x + 1 |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.1.1

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.1.2

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.1.3

Eleve $x + 1$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x + 1)}^{1 + 1} | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.1.5

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x + 1)}^{2} | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.2

Reescreva ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.3

Expanda $(x + 1) (x + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x (x + 1) + 1 (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.4.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.4.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.4.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.4.2

Some $x$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.5

Reescreva ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.6

Expanda $(x + 1) (x + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x (x + 1) + 1 (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.7.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.7.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.7.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.7.2

Some $x$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + 2 x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.9.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.9.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - 2 x - 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.10

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 | - 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.11

Reescreva $- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 | - 1$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.11.1

Reagrupe os termos.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.11.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.11.2.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.11.2.2

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - (2 x) + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.11.2.3

Fatore $- 1$ de $| x^{2} + 2 x + 1 |$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - (2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.11.2.4

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (2 x)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2} + 2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.11.2.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} + 2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.11.3

Fatore $- 1$ de $- 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.11.3.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 \cdot 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.11.3.2

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.11.3.3

Reescreva $- 1 (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ como $- (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.11.4

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{\frac{- (x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Reescreva $\frac{- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$ como um produto.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |} \cdot \frac{1}{{| x + 1 |}^{2}}$

Etapa 2.5.3.2

Multiplique $\frac{1}{{| x + 1 |}^{2}}$ por $\frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2} | x + 1 |}$

Etapa 2.5.3.3

Multiplique ${| x + 1 |}^{2}$ por $| x + 1 |$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.3.1

Multiplique ${| x + 1 |}^{2}$ por $| x + 1 |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.3.1.1

Eleve $| x + 1 |$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2} | x + 1 |}$

Etapa 2.5.3.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2 + 1}}$

Etapa 2.5.3.3.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = | x |$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 4.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 4.1.1.2

A derivada de $| u |$ em relação a $u$ é $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 4.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

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Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.1.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0)$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1$

Etapa 4.1.2.4.2

Multiplique $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1}{| x + 1 |}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x + 1 = 0$

Etapa 5.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 5.4

Exclua as soluções que não tornam $\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$ verdadeira.

$Nenhuma solução$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$| x + 1 | = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

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Etapa 6.2.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$x + 1 = \pm 0$

Etapa 6.2.2

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 6.2.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{{| (- 1) + 1 |}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Some $- 1$ e $1$ .

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{{| 0 |}^{3}}$

Etapa 9.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $0$ é $0$ .

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{0^{3}}$

Etapa 9.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{0}$

Etapa 9.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - 1)$ na primeira derivada $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = \frac{(- 4) + 1}{| (- 4) + 1 |}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.2.1

Some $- 4$ e $1$ .

$f' (- 4) = \frac{- 3}{| - 4 + 1 |}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.2.2.2.1

Some $- 4$ e $1$ .

$f' (- 4) = \frac{- 3}{| - 3 |}$

Etapa 10.2.2.2.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 3$ e $0$ é $3$ .

$f' (- 4) = \frac{- 3}{3}$

Etapa 10.2.2.3

Divida $- 3$ por $3$ .

$f' (- 4) = - 1$

Etapa 10.2.2.4

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- 1, \infty)$ na primeira derivada $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = \frac{(0) + 1}{| (0) + 1 |}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.3.2.1

Some $0$ e $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{| 0 + 1 |}$

Etapa 10.3.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.3.2.2.1

Some $0$ e $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{| 1 |}$

Etapa 10.3.2.2.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1}$

Etapa 10.3.2.3

Divida $1$ por $1$ .

$f' (0) = 1$

Etapa 10.3.2.4

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 10.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - 1$ , então $x = - 1$ é um mínimo local.

$x = - 1$ é um mínimo local

Etapa 11