Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ on $[0, 2]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 3 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 3 + 0$

Etapa 1.1.1.3.2

Some $3 x^{2} - 3$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 3$ .

$3 x^{2} - 3$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 3 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 3 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} = 3$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $3 x^{2} = 3$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = 3$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{3}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Divida $3$ por $3$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 1.2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 1.2.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 1.2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 1.2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 1.2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x^{3} - 3 x + 1$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

${(1)}^{3} - 3 \cdot 1 + 1$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 3 \cdot 1 + 1$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$1 - 3 + 1$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 1.4.1.2.2.1

Subtraia $3$ de $1$ .

$- 2 + 1$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Some $- 2$ e $1$ .

$- 1$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

${(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 + 1$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.2.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 1 - 3 \cdot - 1 + 1$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$- 1 + 3 + 1$

Etapa 1.4.2.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 1.4.2.2.2.1

Some $- 1$ e $3$ .

$2 + 1$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Some $2$ e $1$ .

$3$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(1, - 1), (- 1, 3)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(1, - 1)$

Etapa 3

Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.

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Etapa 3.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 3.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - 1)$ na primeira derivada $3 x^{2} - 3$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 3.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} - 3$

Etapa 3.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 - 3$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$f' (- 4) = 48 - 3$

Etapa 3.2.2.2

Subtraia $3$ de $48$ .

$f' (- 4) = 45$

Etapa 3.2.2.3

A resposta final é $45$ .

$45$

Etapa 3.3

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- 1, 1)$ na primeira derivada $3 x^{2} - 3$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 3$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 3$

Etapa 3.3.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 3$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $3$ de $0$ .

$f' (0) = - 3$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 3.4

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(1, \infty)$ na primeira derivada $3 x^{2} - 3$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 3.4.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 3$

Etapa 3.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 3$

Etapa 3.4.2.1.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$f' (4) = 48 - 3$

Etapa 3.4.2.2

Subtraia $3$ de $48$ .

$f' (4) = 45$

Etapa 3.4.2.3

A resposta final é $45$ .

$45$

Etapa 3.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = - 1$ , então $x = - 1$ é um máximo local.

$x = - 1$ é um máximo local

Etapa 3.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 1$ , então $x = 1$ é um mínimo local.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 3.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ .

$x = - 1$ é um máximo local

$x = 1$ é um mínimo local

$x = - 1$ é um máximo local

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Nenhum máximo absoluto

Mínimo absoluto: $(1, - 1)$

Etapa 5