Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 - \sqrt{x - 5}$ ; $5 \leq x \leq 9$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - \sqrt{x - 5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 5}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 5}]$

Etapa 1.1.1.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 5}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 5}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 5}$ como ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 5$ .

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Etapa 1.1.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 5$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 1.1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 1.1.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 5$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 1.1.1.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Etapa 1.1.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Etapa 1.1.1.2.6

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))$

Etapa 1.1.1.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))$

Etapa 1.1.1.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Etapa 1.1.1.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 - (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Etapa 1.1.1.2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))$

Etapa 1.1.1.2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))$

Etapa 1.1.1.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))$

Etapa 1.1.1.2.12

Some $1$ e $0$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)$

Etapa 1.1.1.2.13

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 - (\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)$

Etapa 1.1.1.2.14

Multiplique $\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$0 - \frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.1.1.2.15

Mova ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.3

Subtraia $\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 1.3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(x - 5)}^{1}}}$

Etapa 1.3.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - 5}}$

Etapa 1.3.2

Defina o denominador em $\frac{1}{2 \sqrt{x - 5}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 \sqrt{x - 5} = 0$

Etapa 1.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 1.3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{x - 5})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 1.3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 5}$ como ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.3.2.2.1

Simplifique ${(2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.3.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.3.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 {(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 {(x - 5)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.4

Simplifique.

$4 (x - 5) = 0^{2}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x + 4 \cdot - 5 = 0^{2}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.6

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$4 x - 20 = 0^{2}$

Etapa 1.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 x - 20 = 0$

Etapa 1.3.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1

Some $20$ aos dois lados da equação.

$4 x = 20$

Etapa 1.3.3.3.2

Divida cada termo em $4 x = 20$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.1

Divida cada termo em $4 x = 20$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{20}{4}$

Etapa 1.3.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{20}{4}$

Etapa 1.3.3.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{20}{4}$

Etapa 1.3.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.3.1

Divida $20$ por $4$ .

$x = 5$

Etapa 1.3.4

Defina o radicando em $\sqrt{x - 5}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 5 < 0$

Etapa 1.3.5

Some $5$ aos dois lados da desigualdade.

$x < 5$

Etapa 1.3.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 5$

$(- \infty, 5]$

$x \leq 5$

$(- \infty, 5]$

Etapa 1.4

Avalie $5 - \sqrt{x - 5}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $5$ por $x$ .

$5 - \sqrt{(5) - 5}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.2.1.1

Subtraia $5$ de $5$ .

$5 - \sqrt{0}$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$5 - \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$5 - 0$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$5 + 0$

Etapa 1.4.1.2.2

Some $5$ e $0$ .

$5$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(5, 5)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 2.1

Avalie em $x = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $5$ por $x$ .

$5 - \sqrt{(5) - 5}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Subtraia $5$ de $5$ .

$5 - \sqrt{0}$

Etapa 2.1.2.1.2

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$5 - \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.1.2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$5 - 0$

Etapa 2.1.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$5 + 0$

Etapa 2.1.2.2

Some $5$ e $0$ .

$5$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $9$ por $x$ .

$5 - \sqrt{(9) - 5}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Subtraia $5$ de $9$ .

$5 - \sqrt{4}$

Etapa 2.2.2.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$5 - \sqrt{2^{2}}$

Etapa 2.2.2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$5 - 1 \cdot 2$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$5 - 2$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$3$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(5, 5), (9, 3)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(5, 5)$

Mínimo absoluto: $(9, 3)$

Etapa 4