Cálculo Exemplos

$y = 2 {(\frac{1}{5})}^{x}$ , $[- 2, 3]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 {(\frac{1}{5})}^{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{5})}^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{5})}^{x}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $\frac{1}{5}$ .

$2 ({(\frac{1}{5})}^{x} \ln (\frac{1}{5}))$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{5}$ .

$2 \frac{1^{x}}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})$

Etapa 1.1.1.3.2

Combine os termos.

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Etapa 1.1.1.3.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 \frac{1}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{5^{x}}$ .

$\frac{2}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})$

Etapa 1.1.1.3.2.3

Combine $\frac{2}{5^{x}}$ e $\ln (\frac{1}{5})$ .

$f' (x) = \frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$ .

$\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 \ln (\frac{1}{5}) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique $2 \log_{2.71828182} (\frac{1}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Simplifique $2 \log_{2.71828182} (\frac{1}{5})$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\log_{2.71828182} ({(\frac{1}{5})}^{2}) = 0$

Etapa 1.2.3.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{5}$ .

$\log_{2.71828182} (\frac{1^{2}}{5^{2}}) = 0$

Etapa 1.2.3.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\log_{2.71828182} (\frac{1}{5^{2}}) = 0$

Etapa 1.2.3.1.4

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\log_{2.71828182} (\frac{1}{25}) = 0$

Etapa 1.2.3.2

Como $\log_{2.71828182} (\frac{1}{25}) \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 2.1

Avalie em $x = - 2$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$2 {(\frac{1}{5})}^{- 2}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

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Etapa 2.1.2.1

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$2 \cdot 5^{2}$

Etapa 2.1.2.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$2 \cdot 25$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $2$ por $25$ .

$50$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 3$ .

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Etapa 2.2.1

Substitua $3$ por $x$ .

$2 {(\frac{1}{5})}^{3}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{5}$ .

$2 \frac{1^{3}}{5^{3}}$

Etapa 2.2.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 \frac{1}{5^{3}}$

Etapa 2.2.2.1.3

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$2 (\frac{1}{125})$

Etapa 2.2.2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{125}$ .

$\frac{2}{125}$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 2, 50), (3, \frac{2}{125})$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 2, 50)$

Mínimo absoluto: $(3, \frac{2}{125})$

Etapa 4