Cálculo Exemplos

$g (t) = \frac{t^{2}}{t^{2} + 3}$ , $[- 1, 1]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t^{2} + 3$ .

$\frac{(t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} + 3) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $t^{2} + 3$ .

$\frac{2 \cdot (t^{2} + 3) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 3$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t + 0)}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.6.1

Some $2 t$ e $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t)}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{2} t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 (t^{1} t^{2})}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{1 + 2}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 t^{2} + 2 \cdot 3) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 t^{2} t + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.6.3.1.1

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.6.3.1.1.1

Mova $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{2}) + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6.3.1.1.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.6.3.1.1.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{2}) + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 t^{1 + 2} + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6.3.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6.3.1.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{2 t^{3} + 6 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6.3.2

Combine os termos opostos em $2 t^{3} + 6 t - 2 t^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.6.3.2.1

Subtraia $2 t^{3}$ de $2 t^{3}$ .

$\frac{6 t + 0}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.6.3.2.2

Some $6 t$ e $0$ .

$f' (t) = \frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $g (t)$ com relação a $t$ é $\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$6 t = 0$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $6 t = 0$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $6 t = 0$ por $6$ .

$\frac{6 t}{6} = \frac{0}{6}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 t}{6} = \frac{0}{6}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $t$ por $1$ .

$t = \frac{0}{6}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Divida $0$ por $6$ .

$t = 0$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $\frac{t^{2}}{t^{2} + 3}$ em cada valor $t$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $t = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $t$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} + 3}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0^{2} + 3}$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0 + 3}$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Some $0$ e $3$ .

$\frac{0}{3}$

Etapa 1.4.1.2.3

Divida $0$ por $3$ .

$0$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(0, 0)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 2.1

Avalie em $t = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 1$ por $t$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{1 + 3}$

Etapa 2.1.2.2.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 2.2

Avalie em $t = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $1$ por $t$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{{(1)}^{2} + 3}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{1^{2} + 3}$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{1 + 3}$

Etapa 2.2.2.2.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

Etapa 3

Compare os valores de $g (t)$ encontrados para cada valor de $t$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $g (t)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $g (t)$ .

Máximo absoluto: $(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

Mínimo absoluto: $(0, 0)$

Etapa 4