Cálculo Exemplos

$f (x) = | x |$ , given $\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{13}$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

A derivada de $| x |$ em relação a $x$ é $\frac{x}{| x |}$ .

$f' (x) = \frac{x}{| x |}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x}{| x |} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x}{| x |} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x = 0$

Etapa 1.2.3

Exclua as soluções que não tornam $\frac{x}{| x |} = 0$ verdadeira.

$Nenhuma solução$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

Defina o denominador em $\frac{x}{| x |}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$| x | = 0$

Etapa 1.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.3.2.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Etapa 1.3.2.2

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.4

Avalie $| x |$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$| 0 |$

Etapa 1.4.1.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $0$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(0, 0)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 3.1

Avalie em $x = \sqrt{5}$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua $\sqrt{5}$ por $x$ .

$| \sqrt{5} |$

Etapa 3.1.2

$\sqrt{5}$ é aproximadamente $2.23606797$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\sqrt{5}$

Etapa 3.2

Avalie em $x = \sqrt{13}$ .

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Etapa 3.2.1

Substitua $\sqrt{13}$ por $x$ .

$| \sqrt{13} |$

Etapa 3.2.2

$\sqrt{13}$ é aproximadamente $3.60555127$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\sqrt{13}$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(\sqrt{5}, \sqrt{5}), (\sqrt{13}, \sqrt{13})$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\sqrt{13}, \sqrt{13})$

Mínimo absoluto: $(\sqrt{5}, \sqrt{5})$

Etapa 5