Cálculo Exemplos

$h (x) = - \sqrt[3]{x}$ , $- 1 \leq x \leq 27$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.1.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 1.1.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.1.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 1.1.1.7.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$- (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 1.1.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.1.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 1.1.1.10

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $h (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Etapa 1.3.2

Defina o denominador em $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Etapa 1.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 1.3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 1.3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1

Simplifique ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Etapa 1.3.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1

Divida cada termo em $27 x^{2} = 0$ por $27$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1.1

Divida cada termo em $27 x^{2} = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 1.3.3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 1.3.3.3.1.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Etapa 1.3.3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1.3.1

Divida $0$ por $27$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 1.3.3.3.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 1.3.3.3.3

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.3.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.3.3.3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 1.3.3.3.3.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.4

Avalie $- \sqrt[3]{x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$- \sqrt[3]{0}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Remova os parênteses.

$- \sqrt[3]{0}$

Etapa 1.4.1.2.2

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$- \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 1.4.1.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$- 0$

Etapa 1.4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(0, 0)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$- \sqrt[3]{- 1}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Remova os parênteses.

$- \sqrt[3]{- 1}$

Etapa 2.1.2.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$- \sqrt[3]{{(- 1)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$- - 1$

Etapa 2.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 27$ .

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Etapa 2.2.1

Substitua $27$ por $x$ .

$- \sqrt[3]{27}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Remova os parênteses.

$- \sqrt[3]{27}$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$- \sqrt[3]{3^{3}}$

Etapa 2.2.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$- 1 \cdot 3$

Etapa 2.2.2.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 1, 1), (27, - 3)$

Etapa 3

Compare os valores de $h (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $h (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $h (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 1, 1)$

Mínimo absoluto: $(27, - 3)$

Etapa 4