Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 \cos^{2} (x)$ on $[0, π]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos^{2} (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 1.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 1.1.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 1.1.1.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$4 \cos (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.1.1.5

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (x) = - 4 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 4 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 4 \cos (x) \sin (x) = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x) = 0$

Etapa 1.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Etapa 1.2.3

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.3.1

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 1.2.3.2

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.3.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 1.2.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.3.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.3.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 1.2.3.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.3.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 1.2.3.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.3.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 1.2.3.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.3.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 1.2.3.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 1.2.3.2.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 1.2.3.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.3.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.3.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.2.3.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.2.3.2.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.4

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.4.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 1.2.4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.4.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 1.2.4.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 1.2.4.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 1.2.4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.2.4.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.2.4.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $- 4 \cos (x) \sin (x) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.6

Consolide as respostas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $2 \cos^{2} (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$2 \cos^{2} (0)$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$2 \cdot 1^{2}$

Etapa 1.4.1.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 \cdot 1$

Etapa 1.4.1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 1.4.2.1

Substitua $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$2 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.2.2.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$2 \cdot 0^{2}$

Etapa 1.4.2.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$2 \cdot 0$

Etapa 1.4.2.2.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$0$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(0 + π n, 2), (\frac{π}{2} + π n, 0)$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(\frac{π}{2}, 0)$

Etapa 3

Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.

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Etapa 3.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \infty)$

Etapa 3.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $- 4 \cos (x) \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 3.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = - 4 \cos (- 2) \sin (- 2)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.2.1

Avalie $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 4 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2))$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = 1.66458734 \sin (- 2)$

Etapa 3.2.2.3

Avalie $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 1.66458734 \cdot - 0.90929742$

Etapa 3.2.2.4

Multiplique $1.66458734$ por $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 1.51360499$

Etapa 3.2.2.5

A resposta final é $- 1.51360499$ .

$- 1.51360499$

Etapa 3.3

Substitua qualquer número, como $1$ , do intervalo $(0, \frac{π}{2})$ na primeira derivada $- 4 \cos (x) \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - 4 \cos (1) \sin (1)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.3.2.1

Avalie $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 4 \cdot (0.5403023 \sin (1))$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $- 4$ por $0.5403023$ .

$f' (1) = - 2.16120922 \sin (1)$

Etapa 3.3.2.3

Avalie $\sin (1)$ .

$f' (1) = - 2.16120922 \cdot 0.84147098$

Etapa 3.3.2.4

Multiplique $- 2.16120922$ por $0.84147098$ .

$f' (1) = - 1.81859485$

Etapa 3.3.2.5

A resposta final é $- 1.81859485$ .

$- 1.81859485$

Etapa 3.4

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(\frac{π}{2}, π)$ na primeira derivada $- 4 \cos (x) \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 3.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = - 4 \cos (2) \sin (2)$

Etapa 3.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.4.2.1

Avalie $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 4 \cdot (- 0.41614683 \sin (2))$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 0.41614683$ .

$f' (2) = 1.66458734 \sin (2)$

Etapa 3.4.2.3

Avalie $\sin (2)$ .

$f' (2) = 1.66458734 \cdot 0.90929742$

Etapa 3.4.2.4

Multiplique $1.66458734$ por $0.90929742$ .

$f' (2) = 1.51360499$

Etapa 3.4.2.5

A resposta final é $1.51360499$ .

$1.51360499$

Etapa 3.5

Substitua qualquer número, como $6$ , do intervalo $(π, \infty)$ na primeira derivada $- 4 \cos (x) \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 3.5.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f' (6) = - 4 \cos (6) \sin (6)$

Etapa 3.5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.5.2.1

Avalie $\cos (6)$ .

$f' (6) = - 4 \cdot (0.96017028 \sin (6))$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique $- 4$ por $0.96017028$ .

$f' (6) = - 3.84068114 \sin (6)$

Etapa 3.5.2.3

Avalie $\sin (6)$ .

$f' (6) = - 3.84068114 \cdot - 0.27941549$

Etapa 3.5.2.4

Multiplique $- 3.84068114$ por $- 0.27941549$ .

$f' (6) = 1.07314583$

Etapa 3.5.2.5

A resposta final é $1.07314583$ .

$1.07314583$

Etapa 3.6

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 3.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{π}{2}$ , então $x = \frac{π}{2}$ é um mínimo local.

$x = \frac{π}{2}$ é um mínimo local

Etapa 3.8

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = π$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 3.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 \cos^{2} (x)$ .

$x = \frac{π}{2}$ é um mínimo local

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Nenhum máximo absoluto

Mínimo absoluto: $(\frac{π}{2}, 0)$

Etapa 5