Cálculo Exemplos

$f (x) = \cos (x + \frac{π}{4})$ , $0 \leq x \leq 2 π$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 1.1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + \frac{π}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Etapa 1.1.1.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Etapa 1.1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + \frac{π}{4}$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{π}{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $\frac{π}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π}{4}$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Etapa 1.1.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

Etapa 1.1.1.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = - \sin (x + \frac{π}{4})$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \sin (x + \frac{π}{4})$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4})$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x + \frac{π}{4})}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sin (x + \frac{π}{4})}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 1.2.2.2.2

Divida $\sin (x + \frac{π}{4})$ por $1$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{0}{- 1}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

Etapa 1.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (0)$

Etapa 1.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x + \frac{π}{4} = 0$

Etapa 1.2.5

Subtraia $\frac{π}{4}$ dos dois lados da equação.

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.6

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x + \frac{π}{4} = π - 0$

Etapa 1.2.7

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.7.1

Subtraia $0$ de $π$ .

$x + \frac{π}{4} = π$

Etapa 1.2.7.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.2.7.2.1

Subtraia $\frac{π}{4}$ dos dois lados da equação.

$x = π - \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.7.2.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.7.2.3

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.7.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 1.2.7.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.7.2.5.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 1.2.7.2.5.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 1.2.8

Encontre o período de $\sin (x + \frac{π}{4})$ .

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Etapa 1.2.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.8.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.2.8.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.2.9

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 1.2.9.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Etapa 1.2.9.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.9.3

Combine frações.

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Etapa 1.2.9.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 1.2.9.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 1.2.9.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.9.4.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Etapa 1.2.9.4.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Etapa 1.2.9.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{7 π}{4}$

Etapa 1.2.10

O período da função $\sin (x + \frac{π}{4})$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.11

Consolide as respostas.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $\cos (x + \frac{π}{4})$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $\frac{3 π}{4}$ por $x$ .

$\cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\cos (\frac{3 π + π}{4})$

Etapa 1.4.1.2.2

Some $3 π$ e $π$ .

$\cos (\frac{4 π}{4})$

Etapa 1.4.1.2.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.4.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\cos (\frac{4 π}{4})$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Divida $π$ por $1$ .

$\cos (π)$

Etapa 1.4.1.2.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \cos (0)$

Etapa 1.4.1.2.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 1.4.1.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = \frac{7 π}{4}$ .

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Etapa 1.4.2.1

Substitua $\frac{7 π}{4}$ por $x$ .

$\cos ((\frac{7 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\cos (\frac{7 π + π}{4})$

Etapa 1.4.2.2.2

Some $7 π$ e $π$ .

$\cos (\frac{8 π}{4})$

Etapa 1.4.2.2.3

Cancele o fator comum de $8$ e $4$ .

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Etapa 1.4.2.2.3.1

Fatore $4$ de $8 π$ .

$\cos (\frac{4 (2 π)}{4})$

Etapa 1.4.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.2.2.3.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})$

Etapa 1.4.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})$

Etapa 1.4.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\cos (\frac{2 π}{1})$

Etapa 1.4.2.2.3.2.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$\cos (2 π)$

Etapa 1.4.2.2.4

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\cos (0)$

Etapa 1.4.2.2.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$1$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{3 π}{4} + 2 π n, - 1), (\frac{7 π}{4} + 2 π n, 1)$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(\frac{3 π}{4}, - 1), (\frac{7 π}{4}, 1)$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 3.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\cos ((0) + \frac{π}{4})$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Some $0$ e $\frac{π}{4}$ .

$\cos (\frac{π}{4})$

Etapa 3.1.2.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 2 π$ .

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Etapa 3.2.1

Substitua $2 π$ por $x$ .

$\cos ((2 π) + \frac{π}{4})$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\cos (2 π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

Etapa 3.2.2.2

Combine frações.

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Etapa 3.2.2.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\cos (\frac{2 π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4})$

Etapa 3.2.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\cos (\frac{2 π \cdot 4 + π}{4})$

Etapa 3.2.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.2.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$\cos (\frac{8 π + π}{4})$

Etapa 3.2.2.3.2

Some $8 π$ e $π$ .

$\cos (\frac{9 π}{4})$

Etapa 3.2.2.4

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\cos (\frac{π}{4})$

Etapa 3.2.2.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(0, \frac{\sqrt{2}}{2}), (2 π, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{7 π}{4}, 1)$

Mínimo absoluto: $(\frac{3 π}{4}, - 1)$

Etapa 5