Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 4$ , $[0, 3]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $\frac{2}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2.6.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2.7

Combine $\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2.8

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2.9

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2.10

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2.11

Cancele o fator comum.

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2.12

Divida $x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- \frac{4}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3.6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3.7

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3.8

Multiplique $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{4}{3}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3.9

Multiplique $4$ por $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3.10

Multiplique $2$ por $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3.11

Fatore $6$ de $12 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3.12

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.12.1

Fatore $6$ de $6$ .

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3.12.2

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3.12.3

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3.12.4

Divida $2 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - (2 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3.13

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.4.3

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.4.4

Combine $\frac{2}{2}$ e $x$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.4.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.5.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.4.5.2

Divida $x$ por $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x + 0$

Etapa 1.1.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.6.1

Some $x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x$ e $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x$

Etapa 1.1.1.6.2

Reordene os termos.

$f' (x) = x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Encontre um divisor comum $x^{\frac{1}{2}}$ que esteja presente em cada termo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.3

Substitua $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(u)}^{2} {(u)}^{3} - 2 u = 0$

Etapa 1.2.4

Resolva $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Multiplique ${(u)}^{2}$ por ${(u)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$u^{2 + 3} - 2 u = 0$

Etapa 1.2.4.1.2

Some $2$ e $3$ .

$u^{5} - 2 u = 0$

Etapa 1.2.4.2

Fatore $u$ de $u^{5} - 2 u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Fatore $u$ de $u^{5}$ .

$u \cdot u^{4} - 2 u = 0$

Etapa 1.2.4.2.2

Fatore $u$ de $- 2 u$ .

$u \cdot u^{4} + u \cdot - 2 = 0$

Etapa 1.2.4.2.3

Fatore $u$ de $u \cdot u^{4} + u \cdot - 2$ .

$u (u^{4} - 2) = 0$

Etapa 1.2.4.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u = 0$

$u^{4} - 2 = 0$

Etapa 1.2.4.4

Defina $u$ como igual a $0$ .

$u = 0$

Etapa 1.2.4.5

Defina $u^{4} - 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.1

Defina $u^{4} - 2$ como igual a $0$ .

$u^{4} - 2 = 0$

Etapa 1.2.4.5.2

Resolva $u^{4} - 2 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$u^{4} = 2$

Etapa 1.2.4.5.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$u = \pm \sqrt[4]{2}$

Etapa 1.2.4.5.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$u = \sqrt[4]{2}$

Etapa 1.2.4.5.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$u = - \sqrt[4]{2}$

Etapa 1.2.4.5.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$u = \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

Etapa 1.2.4.6

A solução final são todos os valores que tornam $u (u^{4} - 2) = 0$ verdadeiro.

$u = 0, \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

Etapa 1.2.5

Substitua $x$ por $u$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0, \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

Etapa 1.2.6

Resolva $x^{\frac{1}{2}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 1.2.6.2

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 1.2.6.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 1.2.6.2.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{2}$

Etapa 1.2.6.2.1.1.2

Simplifique.

$x = 0^{2}$

Etapa 1.2.6.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.7

Resolva $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{2}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Etapa 1.2.7.2

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Etapa 1.2.7.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Etapa 1.2.7.2.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Etapa 1.2.7.2.1.1.2

Simplifique.

$x = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

Etapa 1.2.7.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.2.1

Reescreva ${\sqrt[4]{2}}^{2}$ como $\sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{2}$ como $2^{\frac{1}{4}}$ .

$x = {(2^{\frac{1}{4}})}^{2}$

Etapa 1.2.7.2.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

Etapa 1.2.7.2.2.1.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $2$ .

$x = 2^{\frac{2}{4}}$

Etapa 1.2.7.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.2.1.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x = 2^{\frac{2 (1)}{4}}$

Etapa 1.2.7.2.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = 2^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.7.2.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$x = 2^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.7.2.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$x = 2^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.7.2.2.1.5

Reescreva $2^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{2}$ .

$x = \sqrt{2}$

Etapa 1.2.8

Liste todas as soluções.

$x = 0, \sqrt{2}, \sqrt{2}$

Etapa 1.2.9

Exclua as soluções que não tornam $x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$ verdadeira.

$x = 0$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$x + \sqrt{x^{3}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.3.1.2

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$x + \sqrt{x^{3}} - 2 \sqrt{x^{1}}$

Etapa 1.3.1.3

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$x + \sqrt{x^{3}} - 2 \sqrt{x}$

Etapa 1.3.2

Defina o radicando em $\sqrt{x^{3}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} < 0$

Etapa 1.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Etapa 1.3.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x < 0$

Etapa 1.3.4

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 4$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{2 {(0)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Divida $0$ por $5$ .

$0 - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.4.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$0 - \frac{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.4.3.1

Cancele o fator comum.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.4.3.2

Reescreva a expressão.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.4.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.5

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 - \frac{0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.6

Divida $0$ por $3$ .

$0 - 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 + \frac{0}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.9

Divida $0$ por $2$ .

$0 + 0 + 0 - 4$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0 - 4$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0 - 4$

Etapa 1.4.1.2.2.3

Subtraia $4$ de $0$ .

$- 4$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(0, - 4)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{2 {(0)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.1.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.1.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.1.2.1.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.1.2.1.3

Divida $0$ por $5$ .

$0 - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.1.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.4.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$0 - \frac{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.1.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.1.2.1.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.4.3.1

Cancele o fator comum.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.1.2.1.4.3.2

Reescreva a expressão.

$0 - \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.1.2.1.4.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - \frac{4 \cdot 0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.1.2.1.5

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 - \frac{0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.1.2.1.6

Divida $0$ por $3$ .

$0 - 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.1.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.1.2.1.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 + \frac{0}{2} - 4$

Etapa 2.1.2.1.9

Divida $0$ por $2$ .

$0 + 0 + 0 - 4$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0 - 4$

Etapa 2.1.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0 - 4$

Etapa 2.1.2.2.3

Subtraia $4$ de $0$ .

$- 4$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $3$ por $x$ .

$\frac{2 {(3)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(3)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Mova $3^{1}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 {(3)}^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique ${(3)}^{\frac{3}{2}}$ por $3^{- 1}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.2.1

Mova $3^{- 1}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 (3^{- 1} {(3)}^{\frac{3}{2}})) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.2.2.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.2.2.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.2.2.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.2.2.1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.2.2.1.2.6.2

Some $- 2$ e $3$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.2.2.1.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + \frac{{(3)}^{2}}{2} - 4$

Etapa 2.2.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + \frac{9}{2} - 4$

Etapa 2.2.2.2

Para escrever $- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{9}{2} - 4$

Etapa 2.2.2.3

Combine $- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5}{5} + \frac{9}{2} - 4$

Etapa 2.2.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5}{5} + \frac{9}{2} - 4$

Etapa 2.2.2.4.2

Multiplique $5$ por $- 4$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9}{2} - 4$

Etapa 2.2.2.5

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.2.2.6

Combine $- 4$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.2.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9 - 4 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.2.2.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.8.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{9 - 8}{2}$

Etapa 2.2.2.8.2

Subtraia $8$ de $9$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{2}$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(0, - 4), (3, \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{2})$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(3, \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}} - 20 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{2})$

Mínimo absoluto: $(0, - 4)$

Etapa 4