Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{3} - 3 x - 4$ ; between $1$ and $6$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 3 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$12 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x^{2} - 3 + 0$

Etapa 1.1.1.4.2

Some $12 x^{2} - 3$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 3$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} - 3$ .

$12 x^{2} - 3$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} - 3 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} - 3 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$12 x^{2} = 3$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $12 x^{2} = 3$ por $12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $12 x^{2} = 3$ por $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{3}{12}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{3}{12}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{12}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Cancele o fator comum de $3$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1.1

Fatore $3$ de $3$ .

$x^{2} = \frac{3 (1)}{12}$

Etapa 1.2.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1.2.1

Fatore $3$ de $12$ .

$x^{2} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}$

Etapa 1.2.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}$

Etapa 1.2.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Etapa 1.2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.2.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Etapa 1.2.5.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Etapa 1.2.5.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 1.2.5.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $4 x^{3} - 3 x - 4$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$4 {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 \frac{1}{2^{3}} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$4 (\frac{1}{8}) - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$4 \frac{1}{4 (2)} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$4 \frac{1}{4 \cdot 2} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.5

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 3}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 4 + \frac{1 - 3}{2}$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.2.1

Subtraia $3$ de $1$ .

$- 4 + \frac{- 2}{2}$

Etapa 1.4.1.2.2.2.2

Divida $- 2$ por $2$ .

$- 4 - 1$

Etapa 1.4.1.2.2.2.3

Subtraia $1$ de $- 4$ .

$- 5$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = - \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $- \frac{1}{2}$ por $x$ .

$4 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$4 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 (- \frac{1}{2^{3}}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$4 (- \frac{1}{8}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{8}$ para o numerador.

$4 (\frac{- 1}{8}) - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.5.2

Fatore $4$ de $8$ .

$4 \frac{- 1}{4 (2)} - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.5.3

Cancele o fator comum.

$4 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.5.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{2} - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} - 3 (- \frac{1}{2}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.7

Multiplique $- 3 (- \frac{1}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$- \frac{1}{2} + 3 (\frac{1}{2}) - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.7.2

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 4$

Etapa 1.4.2.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 4 + \frac{- 1 + 3}{2}$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.2.1

Some $- 1$ e $3$ .

$- 4 + \frac{2}{2}$

Etapa 1.4.2.2.2.2.2

Divida $2$ por $2$ .

$- 4 + 1$

Etapa 1.4.2.2.2.2.3

Some $- 4$ e $1$ .

$- 3$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{1}{2}, - 5), (- \frac{1}{2}, - 3)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$4 {(1)}^{3} - 3 \cdot 1 - 4$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 \cdot 1 - 3 \cdot 1 - 4$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 - 3 \cdot 1 - 4$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$4 - 3 - 4$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Subtraia $3$ de $4$ .

$1 - 4$

Etapa 3.1.2.2.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$- 3$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua $6$ por $x$ .

$4 {(6)}^{3} - 3 \cdot 6 - 4$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$4 \cdot 216 - 3 \cdot 6 - 4$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $4$ por $216$ .

$864 - 3 \cdot 6 - 4$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $6$ .

$864 - 18 - 4$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Subtraia $18$ de $864$ .

$846 - 4$

Etapa 3.2.2.2.2

Subtraia $4$ de $846$ .

$842$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(1, - 3), (6, 842)$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(6, 842)$

Mínimo absoluto: $(1, - 3)$

Etapa 5