Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 10 (2 x) + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $- 10$ .

$3 x^{2} - 20 x + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [27 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27 x$ em relação a $x$ é $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $27$ por $1$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $3 x^{2} - 20 x + 27$ e $0$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 20 x + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20 x$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 20 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 20$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 20 + \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 20 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $6 x - 20$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 20$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 x^{2} - 20 x + 27 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 10 (2 x) + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 10$ .

$3 x^{2} - 20 x + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [27 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27 x$ em relação a $x$ é $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $27$ por $1$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $3 x^{2} - 20 x + 27$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 20 x + 27$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 20 x + 27$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 20 x + 27 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 20 x + 27 = 0$

Etapa 5.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.3

Substitua os valores $a = 3$ , $b = - 20$ e $c = 27$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 27)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Eleve $- 20$ à potência de $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 3 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 12 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.4.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $27$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 324}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.4.1.3

Subtraia $324$ de $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.4.1.4

Reescreva $76$ como $2^{2} \cdot 19$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.4.1

Fatore $4$ de $76$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Etapa 5.4.3

Simplifique $\frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{19}}{3}$

Etapa 5.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Eleve $- 20$ à potência de $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 3 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 12 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.5.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $27$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 324}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.5.1.3

Subtraia $324$ de $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.5.1.4

Reescreva $76$ como $2^{2} \cdot 19$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.4.1

Fatore $4$ de $76$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.5.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Etapa 5.5.3

Simplifique $\frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{19}}{3}$

Etapa 5.5.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 5.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1

Eleve $- 20$ à potência de $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 3 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 12 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.6.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $27$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 324}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.6.1.3

Subtraia $324$ de $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.6.1.4

Reescreva $76$ como $2^{2} \cdot 19$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.4.1

Fatore $4$ de $76$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

Etapa 5.6.3

Simplifique $\frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{19}}{3}$

Etapa 5.6.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 5.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}, \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}, \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 20$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{10 + \sqrt{19}}{3} - 20$

Etapa 9.1.1.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 2 \frac{10 + \sqrt{19}}{3} - 20$

Etapa 9.1.1.3

Reescreva a expressão.

$2 (10 + \sqrt{19}) - 20$

Etapa 9.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 10 + 2 \sqrt{19} - 20$

Etapa 9.1.3

Multiplique $2$ por $10$ .

$20 + 2 \sqrt{19} - 20$

Etapa 9.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Subtraia $20$ de $20$ .

$0 + 2 \sqrt{19}$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $2 \sqrt{19}$ .

$2 \sqrt{19}$

Etapa 10

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ na expressão.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{3} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(10 + \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(10 + \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.3

Use o teorema binomial.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{10^{3} + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 3 \cdot (10 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.1

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 3 \cdot (10 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.4.2

Multiplique $3$ por $10$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {\sqrt{19}}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.4.3

Reescreva ${\sqrt{19}}^{2}$ como $19$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{19}$ como $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.4.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.4.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.4.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.4.3.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.4.4

Multiplique $30$ por $19$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.4.5

Reescreva ${\sqrt{19}}^{3}$ como $\sqrt{19^{3}}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + \sqrt{19^{3}}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.4.6

Eleve $19$ à potência de $3$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + \sqrt{6859}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.4.7

Reescreva $6859$ como $19^{2} \cdot 19$ .

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Etapa 11.2.1.4.7.1

Fatore $361$ de $6859$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + \sqrt{361 (19)}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.4.7.2

Reescreva $361$ como $19^{2}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.4.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.5

Some $1000$ e $570$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.6

Aplique a regra do produto a $\frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{{(10 + \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.7

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{{(10 + \sqrt{19})}^{2}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.8

Reescreva ${(10 + \sqrt{19})}^{2}$ como $(10 + \sqrt{19}) (10 + \sqrt{19})$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{(10 + \sqrt{19}) (10 + \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.9

Expanda $(10 + \sqrt{19}) (10 + \sqrt{19})$ usando o método FOIL.

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Etapa 11.2.1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 (10 + \sqrt{19}) + \sqrt{19} (10 + \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 \cdot 10 + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19} (10 + \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 \cdot 10 + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 10 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.10

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 11.2.1.10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.10.1.1

Multiplique $10$ por $10$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 10 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.10.1.2

Mova $10$ para a esquerda de $\sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \cdot \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.10.1.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19 \cdot 19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.10.1.4

Multiplique $19$ por $19$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + \sqrt{361}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.10.1.5

Reescreva $361$ como $19^{2}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19^{2}}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.10.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + 19}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.10.2

Some $100$ e $19$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{119 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.10.3

Some $10 \sqrt{19}$ e $10 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{119 + 20 \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.11

Combine $- 10$ e $\frac{119 + 20 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.13

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 11.2.1.13.1

Fatore $3$ de $27$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 3 (9) (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 11.2.1.13.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 3 \cdot (9 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3})) - 18$

Etapa 11.2.1.13.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 9 (10 + \sqrt{19}) - 18$

Etapa 11.2.1.14

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 9 \cdot 10 + 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 11.2.1.15

Multiplique $9$ por $10$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 11.2.2

Para escrever $- \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 11.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $27$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 11.2.3.1

Multiplique $\frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $9$ por $3$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 11.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} - 10 (119 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 11.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} + (- 10 \cdot 119 - 10 (20 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 11.2.5.2

Multiplique $- 10$ por $119$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} + (- 1190 - 10 (20 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 11.2.5.3

Multiplique $20$ por $- 10$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} + (- 1190 - 200 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 11.2.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} - 1190 \cdot 3 - 200 \sqrt{19} \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 11.2.5.5

Multiplique $- 1190$ por $3$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} - 3570 - 200 \sqrt{19} \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 11.2.5.6

Multiplique $3$ por $- 200$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} - 3570 - 600 \sqrt{19}}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 11.2.5.7

Subtraia $3570$ de $1570$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 19 \sqrt{19} - 600 \sqrt{19}}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 11.2.5.8

Subtraia $600 \sqrt{19}$ de $19 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19}}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 11.2.6

Para escrever $90$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19}}{27} + 90 \cdot \frac{27}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 11.2.7

Combine $90$ e $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19}}{27} + \frac{90 \cdot 27}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 11.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.2.8.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19} + 90 \cdot 27}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 11.2.8.2

Multiplique $90$ por $27$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19} + 2430}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 11.2.8.3

Some $- 2000$ e $2430$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19}}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 11.2.9

Para escrever $9 \sqrt{19}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19}}{27} + 9 \sqrt{19} \cdot \frac{27}{27} - 18$

Etapa 11.2.10

Combine frações.

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Etapa 11.2.10.1

Combine $9 \sqrt{19}$ e $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19}}{27} + \frac{9 \sqrt{19} \cdot 27}{27} - 18$

Etapa 11.2.10.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19} + 9 \sqrt{19} \cdot 27}{27} - 18$

Etapa 11.2.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.11.1

Multiplique $27$ por $9$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19} + 243 \sqrt{19}}{27} - 18$

Etapa 11.2.11.2

Some $- 581 \sqrt{19}$ e $243 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19}}{27} - 18$

Etapa 11.2.12

Para escrever $- 18$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19}}{27} - 18 \cdot \frac{27}{27}$

Etapa 11.2.13

Combine frações.

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Etapa 11.2.13.1

Combine $- 18$ e $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 18 \cdot 27}{27}$

Etapa 11.2.13.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19} - 18 \cdot 27}{27}$

Etapa 11.2.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.14.1

Multiplique $- 18$ por $27$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19} - 486}{27}$

Etapa 11.2.14.2

Subtraia $486$ de $430$ .

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$

Etapa 11.2.15

A resposta final é $\frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 20$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 13.1.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{10 - \sqrt{19}}{3} - 20$

Etapa 13.1.1.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 2 \frac{10 - \sqrt{19}}{3} - 20$

Etapa 13.1.1.3

Reescreva a expressão.

$2 (10 - \sqrt{19}) - 20$

Etapa 13.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 10 + 2 (- \sqrt{19}) - 20$

Etapa 13.1.3

Multiplique $2$ por $10$ .

$20 + 2 (- \sqrt{19}) - 20$

Etapa 13.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$20 - 2 \sqrt{19} - 20$

Etapa 13.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 13.2.1

Subtraia $20$ de $20$ .

$0 - 2 \sqrt{19}$

Etapa 13.2.2

Subtraia $2 \sqrt{19}$ de $0$ .

$- 2 \sqrt{19}$

Etapa 14

$x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ na expressão.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{3} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(10 - \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(10 - \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.3

Use o teorema binomial.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{10^{3} + 3 \cdot 10^{2} (- \sqrt{19}) + 3 \cdot (10 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.1

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} (- \sqrt{19}) + 3 \cdot (10 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 3 \cdot (10 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.4.3

Multiplique $3$ por $10$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {(- \sqrt{19})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.4.4

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.4.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 (1 {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.4.6

Multiplique ${\sqrt{19}}^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {\sqrt{19}}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.4.7

Reescreva ${\sqrt{19}}^{2}$ como $19$ .

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Etapa 15.2.1.4.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{19}$ como $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.4.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.4.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.4.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.2.1.4.7.4.1

Cancele o fator comum.

Etapa 15.2.1.4.7.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.4.7.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.4.8

Multiplique $30$ por $19$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.4.9

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.4.10

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.4.11

Reescreva ${\sqrt{19}}^{3}$ como $\sqrt{19^{3}}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - \sqrt{19^{3}}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.4.12

Eleve $19$ à potência de $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - \sqrt{6859}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.4.13

Reescreva $6859$ como $19^{2} \cdot 19$ .

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Etapa 15.2.1.4.13.1

Fatore $361$ de $6859$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - \sqrt{361 (19)}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.4.13.2

Reescreva $361$ como $19^{2}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.4.14

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - (19 \sqrt{19})}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.4.15

Multiplique $19$ por $- 1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.5

Some $1000$ e $570$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.6

Aplique a regra do produto a $\frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{{(10 - \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.7

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{{(10 - \sqrt{19})}^{2}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.8

Reescreva ${(10 - \sqrt{19})}^{2}$ como $(10 - \sqrt{19}) (10 - \sqrt{19})$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{(10 - \sqrt{19}) (10 - \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.9

Expanda $(10 - \sqrt{19}) (10 - \sqrt{19})$ usando o método FOIL.

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Etapa 15.2.1.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 (10 - \sqrt{19}) - \sqrt{19} (10 - \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 \cdot 10 + 10 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} (10 - \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 \cdot 10 + 10 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 10 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.10

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 15.2.1.10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.10.1.1

Multiplique $10$ por $10$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 10 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.10.1.2

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - \sqrt{19} \cdot 10 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.10.1.3

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.10.1.4

Multiplique $- \sqrt{19} (- \sqrt{19})$ .

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Etapa 15.2.1.10.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 1 \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.10.1.4.2

Multiplique $\sqrt{19}$ por $1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.10.1.4.3

Eleve $\sqrt{19}$ à potência de $1$ .

Etapa 15.2.1.10.1.4.4

Eleve $\sqrt{19}$ à potência de $1$ .

Etapa 15.2.1.10.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{1 + 1}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.10.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{2}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.10.1.5

Reescreva ${\sqrt{19}}^{2}$ como $19$ .

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Etapa 15.2.1.10.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{19}$ como $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.10.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.10.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.10.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.2.1.10.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.10.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.10.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.10.2

Some $100$ e $19$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{119 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.10.3

Subtraia $10 \sqrt{19}$ de $- 10 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{119 - 20 \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.11

Combine $- 10$ e $\frac{119 - 20 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.13

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 15.2.1.13.1

Fatore $3$ de $27$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 3 (9) (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

Etapa 15.2.1.13.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 3 \cdot (9 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3})) - 18$

Etapa 15.2.1.13.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 9 (10 - \sqrt{19}) - 18$

Etapa 15.2.1.14

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 9 \cdot 10 + 9 (- \sqrt{19}) - 18$

Etapa 15.2.1.15

Multiplique $9$ por $10$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 90 + 9 (- \sqrt{19}) - 18$

Etapa 15.2.1.16

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 15.2.2

Para escrever $- \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 15.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $27$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 15.2.3.1

Multiplique $\frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 15.2.3.2

Multiplique $9$ por $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 15.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} - 10 (119 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 15.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} + (- 10 \cdot 119 - 10 (- 20 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 15.2.5.2

Multiplique $- 10$ por $119$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} + (- 1190 - 10 (- 20 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 15.2.5.3

Multiplique $- 20$ por $- 10$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} + (- 1190 + 200 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 15.2.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} - 1190 \cdot 3 + 200 \sqrt{19} \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 15.2.5.5

Multiplique $- 1190$ por $3$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} - 3570 + 200 \sqrt{19} \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 15.2.5.6

Multiplique $3$ por $200$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} - 3570 + 600 \sqrt{19}}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 15.2.5.7

Subtraia $3570$ de $1570$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 19 \sqrt{19} + 600 \sqrt{19}}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 15.2.5.8

Some $- 19 \sqrt{19}$ e $600 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19}}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 15.2.6

Para escrever $90$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19}}{27} + 90 \cdot \frac{27}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 15.2.7

Combine $90$ e $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19}}{27} + \frac{90 \cdot 27}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 15.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 15.2.8.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19} + 90 \cdot 27}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 15.2.8.2

Multiplique $90$ por $27$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19} + 2430}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 15.2.8.3

Some $- 2000$ e $2430$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19}}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

Etapa 15.2.9

Para escrever $- 9 \sqrt{19}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19}}{27} - 9 \sqrt{19} \cdot \frac{27}{27} - 18$

Etapa 15.2.10

Combine frações.

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Etapa 15.2.10.1

Combine $- 9 \sqrt{19}$ e $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 9 \sqrt{19} \cdot 27}{27} - 18$

Etapa 15.2.10.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19} - 9 \sqrt{19} \cdot 27}{27} - 18$

Etapa 15.2.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.2.11.1

Multiplique $27$ por $- 9$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19} - 243 \sqrt{19}}{27} - 18$

Etapa 15.2.11.2

Subtraia $243 \sqrt{19}$ de $581 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19}}{27} - 18$

Etapa 15.2.12

Para escrever $- 18$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19}}{27} - 18 \cdot \frac{27}{27}$

Etapa 15.2.13

Combine frações.

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Etapa 15.2.13.1

Combine $- 18$ e $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 18 \cdot 27}{27}$

Etapa 15.2.13.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19} - 18 \cdot 27}{27}$

Etapa 15.2.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.2.14.1

Multiplique $- 18$ por $27$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19} - 486}{27}$

Etapa 15.2.14.2

Subtraia $486$ de $430$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 + 338 \sqrt{19}}{27}$

Etapa 15.2.15

Simplifique com fatoração.

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Etapa 15.2.15.1

Fatore $- 1$ de $- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19}) - 56 + 338 \sqrt{19}}{27}$

Etapa 15.2.15.2

Reescreva $- 56$ como $- 1 (56)$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19}) - 1 \cdot 56 + 338 \sqrt{19}}{27}$

Etapa 15.2.15.3

Fatore $- 1$ de $- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19}) - 1 (56)$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56) + 338 \sqrt{19}}{27}$

Etapa 15.2.15.4

Fatore $- 1$ de $338 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56) - (- 338 \sqrt{19})}{27}$

Etapa 15.2.15.5

Fatore $- 1$ de $- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56) - (- 338 \sqrt{19})$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19})}{27}$

Etapa 15.2.15.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 15.2.15.6.1

Reescreva $- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19})$ como $- 1 (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19})$ .

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19})}{27}$

Etapa 15.2.15.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$

Etapa 15.2.16

A resposta final é $- \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$ .

$(\frac{10 + \sqrt{19}}{3}, \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 - 338 \sqrt{19}}{27})$ é um mínimo local

$(\frac{10 - \sqrt{19}}{3}, - \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19}}{27})$ é um máximo local

Etapa 17