Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + \frac{1}{x}$ , $x > 0$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + \frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 x - x^{- 2}$

Etapa 1.1.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x - \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x^{2}, 1$

Etapa 1.2.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 1.2.3

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{1}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{1}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{2 + 1} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$2 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{2}}$ para o numerador.

$2 x^{3} + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{3} + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{3} - 1 = 0 x^{2}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x^{3} = 1$

Etapa 1.2.4.2

Divida cada termo em $2 x^{3} = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Divida cada termo em $2 x^{3} = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.4.2.2.1.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.4.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.4.4

Simplifique $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.1

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}}$

Etapa 1.2.4.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Etapa 1.2.4.4.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 1.2.4.4.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 1.2.4.4.4.2

Eleve $\sqrt[3]{2}$ à potência de $1$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 1.2.4.4.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Etapa 1.2.4.4.4.4

Some $1$ e $2$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Etapa 1.2.4.4.4.5

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.4.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 1.2.4.4.4.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 1.2.4.4.4.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.4.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.4.5.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.4.5.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Etapa 1.2.4.4.4.5.5

Avalie o expoente.

$x = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Etapa 1.2.4.4.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.5.1

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Etapa 1.2.4.4.5.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 1.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 1.3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.4

Avalie $x^{2} + \frac{1}{x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ por $x$ .

${(\frac{\sqrt[3]{4}}{2})}^{2} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{2^{2}} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.2.1

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{2^{2}} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.2.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{16}}{2^{2}} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.2.3

Reescreva $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.2.3.1

Fatore $8$ de $16$ .

$\frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{2^{2}} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.2.3.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{2^{2}} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 \sqrt[3]{2}}{2^{2}} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{2}}{4} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.4.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt[3]{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt[3]{2})}{4} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{1}{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 1 \frac{2}{\sqrt[3]{4}}$

Etapa 1.4.1.2.1.6

Multiplique $\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt[3]{4}}$

Etapa 1.4.1.2.1.7

Multiplique $\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.8

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.8.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.8.2

Eleve $\sqrt[3]{4}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.8.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Etapa 1.4.1.2.1.8.4

Some $1$ e $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Etapa 1.4.1.2.1.8.5

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.8.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 1.4.1.2.1.8.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 1.4.1.2.1.8.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 1.4.1.2.1.8.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.8.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 1.4.1.2.1.8.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Etapa 1.4.1.2.1.8.5.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Etapa 1.4.1.2.1.9

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.9.1

Fatore $2$ de $2 {\sqrt[3]{4}}^{2}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 ({\sqrt[3]{4}}^{2})}{4}$

Etapa 1.4.1.2.1.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.9.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.1.2.1.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.1.2.1.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{2}$

Etapa 1.4.1.2.1.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.10.1

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{2}$

Etapa 1.4.1.2.1.10.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{16}}{2}$

Etapa 1.4.1.2.1.10.3

Reescreva $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.10.3.1

Fatore $8$ de $16$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{2}$

Etapa 1.4.1.2.1.10.3.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{2}$

Etapa 1.4.1.2.1.10.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2}$

Etapa 1.4.1.2.1.11

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.11.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2}$

Etapa 1.4.1.2.1.11.2

Divida $\sqrt[3]{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \sqrt[3]{2}$

Etapa 1.4.1.2.2

Para escrever $\sqrt[3]{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \sqrt[3]{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 1.4.1.2.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.3.1

Combine $\sqrt[3]{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 2}{2}$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} \cdot 2}{2}$

Etapa 1.4.1.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt[3]{2}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2} + 2 \cdot \sqrt[3]{2}}{2}$

Etapa 1.4.1.2.4.2

Some $\sqrt[3]{2}$ e $2 \sqrt[3]{2}$ .

$\frac{3 \sqrt[3]{2}}{2}$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} + \frac{1}{0}$

Etapa 1.4.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{\sqrt[3]{4}}{2}, \frac{3 \sqrt[3]{2}}{2})$

Etapa 2

Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, \frac{\sqrt[3]{4}}{2}) \cup (\frac{\sqrt[3]{4}}{2}, \infty)$

Etapa 2.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, \frac{\sqrt[3]{4}}{2})$ na primeira derivada $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 2 (- 2) - \frac{1}{{(- 2)}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{1}{{(- 2)}^{2}}$

Etapa 2.2.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{1}{4}$

Etapa 2.2.2.2

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f' (- 2) = - 4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 2.2.2.3

Combine $- 4$ e $\frac{4}{4}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 2.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 4 - 1}{4}$

Etapa 2.2.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.5.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 16 - 1}{4}$

Etapa 2.2.2.5.2

Subtraia $1$ de $- 16$ .

$f' (- 2) = \frac{- 17}{4}$

Etapa 2.2.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 2) = - \frac{17}{4}$

Etapa 2.2.2.7

A resposta final é $- \frac{17}{4}$ .

$- \frac{17}{4}$

Etapa 2.3

Substitua qualquer número, como $3$ , do intervalo $(\frac{\sqrt[3]{4}}{2}, \infty)$ na primeira derivada $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = 2 (3) - \frac{1}{{(3)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (3) = 6 - \frac{1}{{(3)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (3) = 6 - \frac{1}{9}$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$f' (3) = 6 \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $6$ e $\frac{9}{9}$ .

$f' (3) = \frac{6 \cdot 9}{9} - \frac{1}{9}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (3) = \frac{6 \cdot 9 - 1}{9}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $6$ por $9$ .

$f' (3) = \frac{54 - 1}{9}$

Etapa 2.3.2.5.2

Subtraia $1$ de $54$ .

$f' (3) = \frac{53}{9}$

Etapa 2.3.2.6

A resposta final é $\frac{53}{9}$ .

$\frac{53}{9}$

Etapa 2.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ , então $x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ é um mínimo local.

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$ é um mínimo local

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Nenhum máximo absoluto

Mínimo absoluto: $(\frac{\sqrt[3]{4}}{2}, \frac{3 \sqrt[3]{2}}{2})$

Etapa 4