Cálculo Exemplos

$f (x) = x {(x - 10)}^{2}$ ; $[0, 10]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Reescreva ${(x - 10)}^{2}$ como $(x - 10) (x - 10)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((x - 10) (x - 10))]$

Etapa 1.1.1.2

Expanda $(x - 10) (x - 10)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (x (x - 10) - 10 (x - 10))]$

Etapa 1.1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10))]$

Etapa 1.1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10)]$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10)]$

Etapa 1.1.1.3.1.2

Mova $- 10$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10)]$

Etapa 1.1.1.3.1.3

Multiplique $- 10$ por $- 10$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 10 x - 10 x + 100)]$

Etapa 1.1.1.3.2

Subtraia $10 x$ de $- 10 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 20 x + 100)]$

Etapa 1.1.1.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 20 x + 100$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - 20 x + 100] + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 20 x + 100$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.5.3

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20 x$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (2 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (2 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.5.5

Multiplique $- 20$ por $1$ .

$x (2 x - 20 + \frac{d}{d x} [100]) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.5.6

Como $100$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $100$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (2 x - 20 + 0) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.5.7

Some $2 x - 20$ e $0$ .

$x (2 x - 20) + (x^{2} - 20 x + 100) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.5.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (2 x - 20) + (x^{2} - 20 x + 100) \cdot 1$

Etapa 1.1.1.5.9

Multiplique $x^{2} - 20 x + 100$ por $1$ .

$x (2 x - 20) + x^{2} - 20 x + 100$

Etapa 1.1.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (2 x) + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

Etapa 1.1.1.6.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{1} x) + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

Etapa 1.1.1.6.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

Etapa 1.1.1.6.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{1 + 1} + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

Etapa 1.1.1.6.2.4

Some $1$ e $1$ .

$2 x^{2} + x \cdot - 20 + x^{2} - 20 x + 100$

Etapa 1.1.1.6.2.5

Mova $- 20$ para a esquerda de $x$ .

$2 x^{2} - 20 \cdot x + x^{2} - 20 x + 100$

Etapa 1.1.1.6.2.6

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 20 x - 20 x + 100$

Etapa 1.1.1.6.2.7

Subtraia $20 x$ de $- 20 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 40 x + 100$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 40 x + 100$ .

$3 x^{2} - 40 x + 100$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 40 x + 100 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 40 x + 100 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 100 = 300$ e cuja soma é $b = - 40$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $- 40$ de $- 40 x$ .

$3 x^{2} - 40 x + 100 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Reescreva $- 40$ como $- 10$ mais $- 30$

$3 x^{2} + (- 10 - 30) x + 100 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 10 x - 30 x + 100 = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} - 10 x) - 30 x + 100 = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (3 x - 10) - 10 (3 x - 10) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 10$ .

$(3 x - 10) (x - 10) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x - 10 = 0$

$x - 10 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $3 x - 10$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $3 x - 10$ como igual a $0$ .

$3 x - 10 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $3 x - 10 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Some $10$ aos dois lados da equação.

$3 x = 10$

Etapa 1.2.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = 10$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 10$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Etapa 1.2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{10}{3}$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 10$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 10$ como igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $10$ aos dois lados da equação.

$x = 10$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x - 10) (x - 10) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{10}{3}, 10$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x {(x - 10)}^{2}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = \frac{10}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $\frac{10}{3}$ por $x$ .

$(\frac{10}{3}) {((\frac{10}{3}) - 10)}^{2}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Para escrever $- 10$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} {(\frac{10}{3} - 10 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

Etapa 1.4.1.2.2

Combine $- 10$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} {(\frac{10}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3})}^{2}$

Etapa 1.4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{10}{3} {(\frac{10 - 10 \cdot 3}{3})}^{2}$

Etapa 1.4.1.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.4.1

Multiplique $- 10$ por $3$ .

$\frac{10}{3} {(\frac{10 - 30}{3})}^{2}$

Etapa 1.4.1.2.4.2

Subtraia $30$ de $10$ .

$\frac{10}{3} {(\frac{- 20}{3})}^{2}$

Etapa 1.4.1.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{10}{3} {(- \frac{20}{3})}^{2}$

Etapa 1.4.1.2.6

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.6.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{20}{3}$ .

$\frac{10}{3} ({(- 1)}^{2} {(\frac{20}{3})}^{2})$

Etapa 1.4.1.2.6.2

Aplique a regra do produto a $\frac{20}{3}$ .

$\frac{10}{3} ({(- 1)}^{2} \frac{20^{2}}{3^{2}})$

Etapa 1.4.1.2.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.7.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{10}{3} (1 \frac{20^{2}}{3^{2}})$

Etapa 1.4.1.2.7.2

Multiplique $\frac{20^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{20^{2}}{3^{2}}$

Etapa 1.4.1.2.8

Combine.

$\frac{10 \cdot 20^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

Etapa 1.4.1.2.9

Multiplique $3$ por $3^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.9.1

Multiplique $3$ por $3^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.9.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$\frac{10 \cdot 20^{2}}{3^{1} \cdot 3^{2}}$

Etapa 1.4.1.2.9.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{10 \cdot 20^{2}}{3^{1 + 2}}$

Etapa 1.4.1.2.9.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{10 \cdot 20^{2}}{3^{3}}$

Etapa 1.4.1.2.10

Eleve $20$ à potência de $2$ .

$\frac{10 \cdot 400}{3^{3}}$

Etapa 1.4.1.2.11

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{10 \cdot 400}{27}$

Etapa 1.4.1.2.12

Multiplique $10$ por $400$ .

$\frac{4000}{27}$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $10$ por $x$ .

$(10) {((10) - 10)}^{2}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Subtraia $10$ de $10$ .

$10 \cdot 0^{2}$

Etapa 1.4.2.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$10 \cdot 0$

Etapa 1.4.2.2.3

Multiplique $10$ por $0$ .

$0$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{10}{3}, \frac{4000}{27}), (10, 0)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$(0) {((0) - 10)}^{2}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Subtraia $10$ de $0$ .

$0 {(- 10)}^{2}$

Etapa 2.1.2.2

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$0 \cdot 100$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $0$ por $100$ .

$0$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $10$ por $x$ .

$(10) {((10) - 10)}^{2}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Subtraia $10$ de $10$ .

$10 \cdot 0^{2}$

Etapa 2.2.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$10 \cdot 0$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $10$ por $0$ .

$0$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (10, 0)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{10}{3}, \frac{4000}{27})$

Mínimo absoluto: $(0, 0), (10, 0)$

Etapa 4