Cálculo Exemplos

$f (t) = \frac{t^{2}}{t - 8}$ ; $- 2 \leq t \leq - \frac{1}{4}$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t - 8$ .

$\frac{(t - 8) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(t - 8) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $t - 8$ .

$\frac{2 \cdot (t - 8) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t - 8$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

Como $- 8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 8$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + 0)}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} \cdot 1}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 t + 2 \cdot - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 t \cdot t + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1.1

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1.1.1

Mova $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t) + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.1.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.2

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$\frac{2 t^{2} - 16 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.2

Subtraia $t^{2}$ de $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4

Fatore $t$ de $t^{2} - 16 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.4.1

Fatore $t$ de $t^{2}$ .

$\frac{t \cdot t - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4.2

Fatore $t$ de $- 16 t$ .

$\frac{t \cdot t + t \cdot - 16}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4.3

Fatore $t$ de $t \cdot t + t \cdot - 16$ .

$f' (t) = \frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (t)$ com relação a $t$ é $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ .

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$t (t - 16) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$t = 0$

$t - 16 = 0$

Etapa 1.2.3.2

Defina $t$ como igual a $0$ .

$t = 0$

Etapa 1.2.3.3

Defina $t - 16$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Defina $t - 16$ como igual a $0$ .

$t - 16 = 0$

Etapa 1.2.3.3.2

Some $16$ aos dois lados da equação.

$t = 16$

Etapa 1.2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $t (t - 16) = 0$ verdadeiro.

$t = 0, 16$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Defina o denominador em $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(t - 8)}^{2} = 0$

Etapa 1.3.2

Resolva $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Defina $t - 8$ como igual a $0$ .

$t - 8 = 0$

Etapa 1.3.2.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$t = 8$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{t^{2}}{t - 8}$ em cada valor $t$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $t = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $t$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) - 8}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0 - 8}$

Etapa 1.4.1.2.2

Subtraia $8$ de $0$ .

$\frac{0}{- 8}$

Etapa 1.4.1.2.3

Divida $0$ por $- 8$ .

$0$

Etapa 1.4.2

Avalie em $t = 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $16$ por $t$ .

$\frac{{(16)}^{2}}{(16) - 8}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$\frac{256}{16 - 8}$

Etapa 1.4.2.2.2

Subtraia $8$ de $16$ .

$\frac{256}{8}$

Etapa 1.4.2.2.3

Divida $256$ por $8$ .

$32$

Etapa 1.4.3

Avalie em $t = 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Substitua $8$ por $t$ .

$\frac{{(8)}^{2}}{(8) - 8}$

Etapa 1.4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1

Subtraia $8$ de $8$ .

$\frac{{(8)}^{2}}{0}$

Etapa 1.4.3.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 1.4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (16, 32)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie em $t = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua $- 2$ por $t$ .

$\frac{{(- 2)}^{2}}{(- 2) - 8}$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{4}{- 2 - 8}$

Etapa 3.1.2.1.2

Subtraia $8$ de $- 2$ .

$\frac{4}{- 10}$

Etapa 3.1.2.2

Cancele o fator comum de $4$ e $- 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2)}{- 10}$

Etapa 3.1.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.2.1

Fatore $2$ de $- 10$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

Etapa 3.1.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

Etapa 3.1.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{- 5}$

Etapa 3.1.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{5}$

Etapa 3.2

Avalie em $t = - \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua $- \frac{1}{4}$ por $t$ .

$\frac{{(- \frac{1}{4})}^{2}}{(- \frac{1}{4}) - 8}$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{4}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Etapa 3.2.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{1 {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Etapa 3.2.2.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1 \frac{1^{2}}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Etapa 3.2.2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1 \frac{1}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Etapa 3.2.2.1.5

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{1 (\frac{1}{16})}{- \frac{1}{4} - 8}$

Etapa 3.2.2.1.6

Multiplique $\frac{1}{16}$ por $1$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Para escrever $- 8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4}}$

Etapa 3.2.2.2.2

Combine $- 8$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4}}$

Etapa 3.2.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 8 \cdot 4}{4}}$

Etapa 3.2.2.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.4.1

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 32}{4}}$

Etapa 3.2.2.2.4.2

Subtraia $32$ de $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 33}{4}}$

Etapa 3.2.2.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{33}{4}}$

Etapa 3.2.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{16} (- \frac{4}{33})$

Etapa 3.2.2.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{33}$ para o numerador.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{- 4}{33}$

Etapa 3.2.2.4.2

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{1}{4 (4)} \cdot \frac{- 4}{33}$

Etapa 3.2.2.4.3

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

Etapa 3.2.2.4.4

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

Etapa 3.2.2.4.5

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{33}$

Etapa 3.2.2.5

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{- 1}{33}$ .

$\frac{- 1}{4 \cdot 33}$

Etapa 3.2.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.6.1

Multiplique $4$ por $33$ .

$\frac{- 1}{132}$

Etapa 3.2.2.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{132}$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(- 2, - \frac{2}{5}), (- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

Etapa 4

Compare os valores de $f (t)$ encontrados para cada valor de $t$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (t)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (t)$ .

Máximo absoluto: $(- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

Mínimo absoluto: $(- 2, - \frac{2}{5})$

Etapa 5