Cálculo Exemplos

$r (t) = t^{4} + 6 t^{2} - 2$ , $[1, 4]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{4} + 6 t^{2} - 2$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d t} [6 t^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $6 t^{2}$ em relação a $t$ é $6 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$4 t^{3} + 6 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 t^{3} + 6 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 2]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$4 t^{3} + 12 t + \frac{d}{d t} [- 2]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 2$ em relação a $t$ é $0$ .

$4 t^{3} + 12 t + 0$

Etapa 1.1.1.3.2

Some $4 t^{3} + 12 t$ e $0$ .

$f' (t) = 4 t^{3} + 12 t$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $r (t)$ com relação a $t$ é $4 t^{3} + 12 t$ .

$4 t^{3} + 12 t$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 t^{3} + 12 t = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 t^{3} + 12 t = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $4 t$ de $4 t^{3} + 12 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $4 t$ de $4 t^{3}$ .

$4 t (t^{2}) + 12 t = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $4 t$ de $12 t$ .

$4 t (t^{2}) + 4 t (3) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $4 t$ de $4 t (t^{2}) + 4 t (3)$ .

$4 t (t^{2} + 3) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$t = 0$

$t^{2} + 3 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $t$ como igual a $0$ .

$t = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $t^{2} + 3$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $t^{2} + 3$ como igual a $0$ .

$t^{2} + 3 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $t^{2} + 3 = 0$ para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$t^{2} = - 3$

Etapa 1.2.5.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$t = \pm \sqrt{- 3}$

Etapa 1.2.5.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Etapa 1.2.5.2.3.1

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$t = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Etapa 1.2.5.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Etapa 1.2.5.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$t = \pm i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.5.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$t = i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.5.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$t = - i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.5.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$t = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 t (t^{2} + 3) = 0$ verdadeiro.

$t = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $t^{4} + 6 t^{2} - 2$ em cada valor $t$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $t = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $t$ .

${(0)}^{4} + 6 {(0)}^{2} - 2$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 6 {(0)}^{2} - 2$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 6 \cdot 0 - 2$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Multiplique $6$ por $0$ .

$0 + 0 - 2$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 - 2$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(0, - 2)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie em $t = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua $1$ por $t$ .

${(1)}^{4} + 6 {(1)}^{2} - 2$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 6 {(1)}^{2} - 2$

Etapa 3.1.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 6 \cdot 1 - 2$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$1 + 6 - 2$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Some $1$ e $6$ .

$7 - 2$

Etapa 3.1.2.2.2

Subtraia $2$ de $7$ .

$5$

Etapa 3.2

Avalie em $t = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua $4$ por $t$ .

${(4)}^{4} + 6 {(4)}^{2} - 2$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$256 + 6 {(4)}^{2} - 2$

Etapa 3.2.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$256 + 6 \cdot 16 - 2$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $6$ por $16$ .

$256 + 96 - 2$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Some $256$ e $96$ .

$352 - 2$

Etapa 3.2.2.2.2

Subtraia $2$ de $352$ .

$350$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(1, 5), (4, 350)$

Etapa 4

Compare os valores de $r (t)$ encontrados para cada valor de $t$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $r (t)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $r (t)$ .

Máximo absoluto: $(4, 350)$

Mínimo absoluto: $(1, 5)$

Etapa 5