Cálculo Exemplos

$F (θ) = \sin (θ + \frac{π}{2})$ , $0 \leq θ \leq \frac{7 π}{4}$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \sin (θ)$ e $g (θ) = θ + \frac{π}{2}$ .

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Etapa 1.1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $θ + \frac{π}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{2}]$

Etapa 1.1.1.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{2}]$

Etapa 1.1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $θ + \frac{π}{2}$ .

$\cos (θ + \frac{π}{2}) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{2}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $θ + \frac{π}{2}$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{2}]$ .

$\cos (θ + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{2}])$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (θ + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{2}])$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $\frac{π}{2}$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $\frac{π}{2}$ em relação a $θ$ é $0$ .

$\cos (θ + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Etapa 1.1.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\cos (θ + \frac{π}{2}) \cdot 1$

Etapa 1.1.1.2.4.2

Multiplique $\cos (θ + \frac{π}{2})$ por $1$ .

$f' (θ) = \cos (θ + \frac{π}{2})$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $F (θ)$ com relação a $θ$ é $\cos (θ + \frac{π}{2})$ .

$\cos (θ + \frac{π}{2})$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\cos (θ + \frac{π}{2}) = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\cos (θ + \frac{π}{2}) = 0$

Etapa 1.2.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

Etapa 1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$θ + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.4

Mova todos os termos que não contêm $θ$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.2.4.1

Subtraia $\frac{π}{2}$ dos dois lados da equação.

$θ = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{π - π}{2}$

Etapa 1.2.4.3

Subtraia $π$ de $π$ .

$θ = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.4.4

Divida $0$ por $2$ .

$θ = 0$

Etapa 1.2.5

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.6

Resolva $θ$ .

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Etapa 1.2.6.1

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 1.2.6.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$θ + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.6.1.2

Combine frações.

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Etapa 1.2.6.1.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$θ + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.6.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 1.2.6.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.6.1.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$θ + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 1.2.6.1.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$θ + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Etapa 1.2.6.2

Mova todos os termos que não contêm $θ$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.2.6.2.1

Subtraia $\frac{π}{2}$ dos dois lados da equação.

$θ = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{3 π - π}{2}$

Etapa 1.2.6.2.3

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$θ = \frac{2 π}{2}$

Etapa 1.2.6.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.6.2.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \frac{2 π}{2}$

Etapa 1.2.6.2.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$θ = π$

Etapa 1.2.7

Encontre o período de $\cos (θ + \frac{π}{2})$ .

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Etapa 1.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.2.8

O período da função $\cos (θ + \frac{π}{2})$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.9

Consolide as respostas.

$θ = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $\sin (θ + \frac{π}{2})$ em cada valor $θ$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $θ = 0$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $θ$ .

$\sin ((0) + \frac{π}{2})$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Some $0$ e $\frac{π}{2}$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.4.1.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$1$

Etapa 1.4.2

Avalie em $θ = π$ .

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Etapa 1.4.2.1

Substitua $π$ por $θ$ .

$\sin ((π) + \frac{π}{2})$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.2.2.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Etapa 1.4.2.2.2

Combine frações.

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Etapa 1.4.2.2.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

Etapa 1.4.2.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.4.2.2.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$\sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

Etapa 1.4.2.2.3.2

Some $2 π$ e $π$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 1.4.2.2.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.4.2.2.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 1.4.2.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(0 + 2 π n, 1), (π + 2 π n, - 1)$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(0, 1), (π, - 1)$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 3.1

Avalie em $θ = 0$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua $0$ por $θ$ .

$\sin ((0) + \frac{π}{2})$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Some $0$ e $\frac{π}{2}$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

Etapa 3.1.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$1$

Etapa 3.2

Avalie em $θ = \frac{7 π}{4}$ .

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Etapa 3.2.1

Substitua $\frac{7 π}{4}$ por $θ$ .

$\sin ((\frac{7 π}{4}) + \frac{π}{2})$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Para escrever $\frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{7 π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 3.2.2.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.2.2.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{7 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2})$

Etapa 3.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sin (\frac{7 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4})$

Etapa 3.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sin (\frac{7 π + π \cdot 2}{4})$

Etapa 3.2.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.2.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$\sin (\frac{7 π + 2 \cdot π}{4})$

Etapa 3.2.2.4.2

Some $7 π$ e $2 π$ .

$\sin (\frac{9 π}{4})$

Etapa 3.2.2.5

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\sin (\frac{π}{4})$

Etapa 3.2.2.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(0, 1), (\frac{7 π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 4

Compare os valores de $F (θ)$ encontrados para cada valor de $θ$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $F (θ)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $F (θ)$ .

Máximo absoluto: $(0, 1)$

Mínimo absoluto: $(π, - 1)$

Etapa 5