Cálculo Exemplos

$f (x) = x e^{- 2 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 x$ .

$x (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$x (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- 2 x}$ .

$x (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \cdot 1$

Etapa 1.3.5

Multiplique $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reordene os termos.

$- 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$

Etapa 1.4.2

Reordene os fatores em $- 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$ .

$- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{- 2 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x e^{- 2 x}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- 2 x}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (x e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$f'' (x) = - 2 (x \frac{d}{d x} (e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- 2 x$ .

$f'' (x) = - 2 (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 2 x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 2 x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- 2 x$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (- 2 x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Etapa 2.2.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Etapa 2.2.7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Etapa 2.2.8

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- 2 x}$ .

$f'' (x) = - 2 (x (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Etapa 2.2.9

Multiplique $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 2 x$ .

$f'' (x) = - 2 (x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 2 x$ .

$f'' (x) = - 2 (x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Etapa 2.3.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 (x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} x)$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \cdot - 2$

Etapa 2.3.5

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- 2 x}$ .

$f'' (x) = - 2 (x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}) - 2 e^{- 2 x}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 2 (x (- 2 e^{- 2 x})) - 2 e^{- 2 x} - 2 e^{- 2 x}$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (x (e^{- 2 x})) - 2 e^{- 2 x} - 2 e^{- 2 x}$

Etapa 2.4.2.2

Subtraia $2 e^{- 2 x}$ de $- 2 e^{- 2 x}$ .

$f'' (x) = 4 x e^{- 2 x} - 4 e^{- 2 x}$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 4 e^{- 2 x} x - 4 e^{- 2 x}$

Etapa 2.4.4

Reordene os fatores em $4 e^{- 2 x} x - 4 e^{- 2 x}$ .

$f'' (x) = 4 x e^{- 2 x} - 4 e^{- 2 x}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

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Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 x$ .

$x (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$x (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.3.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- 2 x}$ .

$x (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \cdot 1$

Etapa 4.1.3.5

Multiplique $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

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Etapa 4.1.4.1

Reordene os termos.

$- 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$

Etapa 4.1.4.2

Reordene os fatores em $- 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$ .

$f' (x) = - 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ .

$- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} = 0$

Etapa 5.2

Fatore $e^{- 2 x}$ de $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $e^{- 2 x}$ de $- 2 x e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} = 0$

Etapa 5.2.2

Multiplique por $1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1 = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $e^{- 2 x}$ de $e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 x + 1) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{- 2 x} = 0$

$- 2 x + 1 = 0$

Etapa 5.4

Defina $e^{- 2 x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $e^{- 2 x}$ como igual a $0$ .

$e^{- 2 x} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $e^{- 2 x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (0)$

Etapa 5.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.4.2.3

Não há uma solução para $e^{- 2 x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 5.5

Defina $- 2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $- 2 x + 1$ como igual a $0$ .

$- 2 x + 1 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $- 2 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 1$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 5.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $e^{- 2 x} (- 2 x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4 (\frac{1}{2}) e^{- 2 (\frac{1}{2})} - 4 e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2} e^{- 2 (\frac{1}{2})} - 4 e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 9.1.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2} e^{- 2 (\frac{1}{2})} - 4 e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 9.1.1.3

Reescreva a expressão.

$2 e^{- 2 (\frac{1}{2})} - 4 e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 9.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 e^{2 (- 1) \frac{1}{2}} - 4 e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 9.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 e^{2 \cdot - 1 \frac{1}{2}} - 4 e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 9.1.2.3

Reescreva a expressão.

$2 e^{- 1} - 4 e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 9.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{e} - 4 e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 9.1.4

Combine $2$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e} - 4 e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 9.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2}{e} - 4 e^{2 (- 1) \frac{1}{2}}$

Etapa 9.1.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{e} - 4 e^{2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}$

Etapa 9.1.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{e} - 4 e^{- 1}$

Etapa 9.1.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{e} - 4 \frac{1}{e}$

Etapa 9.1.7

Combine $- 4$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e} + \frac{- 4}{e}$

Etapa 9.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{e} - \frac{4}{e}$

Etapa 9.2

Combine frações.

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Etapa 9.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 - 4}{e}$

Etapa 9.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.2.2.1

Subtraia $4$ de $2$ .

$\frac{- 2}{e}$

Etapa 9.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{e}$

Etapa 10

$x = \frac{1}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{2}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{2}$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f (\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2}) \cdot e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot e^{2 (- 1) (\frac{1}{2})}$

Etapa 11.2.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot (- 1 (\frac{1}{2}))}$

Etapa 11.2.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot e^{- 1}$

Etapa 11.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e}$

Etapa 11.2.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2 e}$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $\frac{1}{2 e}$ .

$y = \frac{1}{2 e}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = x e^{- 2 x}$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2 e})$ é um máximo local

Etapa 13