Cálculo Exemplos

$f (x) = 12 x^{\frac{2}{3}} + 8$ , $[- 8, 1]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{\frac{2}{3}} + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$12 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$12 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$12 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$12 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.2.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$12 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$12 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.2.8

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$12 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.2.9

Combine $12$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{12 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.2.10

Multiplique $2$ por $12$ .

$\frac{24 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.2.11

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{24}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.2.12

Fatore $3$ de $24$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.2.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.13.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.2.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 8}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.2.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{8}{x^{\frac{1}{3}}} + 0$

Etapa 1.1.1.3.2

Some $\frac{8}{x^{\frac{1}{3}}}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{8}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{8}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{8}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{8}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$8 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $8 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{8}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Etapa 1.3.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{8}{\sqrt[3]{x}}$

Etapa 1.3.2

Defina o denominador em $\frac{8}{\sqrt[3]{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Etapa 1.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.2

Simplifique.

$x = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.4

Avalie $12 x^{\frac{2}{3}} + 8$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$12 {(0)}^{\frac{2}{3}} + 8$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$12 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} + 8$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} + 8$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$12 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} + 8$

Etapa 1.4.1.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$12 \cdot 0^{2} + 8$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 \cdot 0 + 8$

Etapa 1.4.1.2.1.5

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 + 8$

Etapa 1.4.1.2.2

Some $0$ e $8$ .

$8$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(0, 8)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 8$ por $x$ .

$12 {(- 8)}^{\frac{2}{3}} + 8$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Reescreva $- 8$ como ${(- 2)}^{3}$ .

$12 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}} + 8$

Etapa 2.1.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})} + 8$

Etapa 2.1.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$12 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})} + 8$

Etapa 2.1.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$12 {(- 2)}^{2} + 8$

Etapa 2.1.2.1.4

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 4 + 8$

Etapa 2.1.2.1.5

Multiplique $12$ por $4$ .

$48 + 8$

Etapa 2.1.2.2

Some $48$ e $8$ .

$56$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$12 {(1)}^{\frac{2}{3}} + 8$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$12 \cdot 1 + 8$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $12$ por $1$ .

$12 + 8$

Etapa 2.2.2.2

Some $12$ e $8$ .

$20$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 8, 56), (1, 20)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 8, 56)$

Mínimo absoluto: $(0, 8)$

Etapa 4