Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{5} - 5 x^{4}$ on $- 1$ , $3$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{5} - 5 x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{5}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $5$ por $2$ .

$10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$10 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$f' (x) = 10 x^{4} - 20 x^{3}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $10 x^{4} - 20 x^{3}$ .

$10 x^{4} - 20 x^{3}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $10 x^{4} - 20 x^{3} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$10 x^{4} - 20 x^{3} = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $10 x^{3}$ de $10 x^{4} - 20 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $10 x^{3}$ de $10 x^{4}$ .

$10 x^{3} (x) - 20 x^{3} = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $10 x^{3}$ de $- 20 x^{3}$ .

$10 x^{3} (x) + 10 x^{3} (- 2) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $10 x^{3}$ de $10 x^{3} (x) + 10 x^{3} (- 2)$ .

$10 x^{3} (x - 2) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $x^{3} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 1.2.4.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 1.2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $10 x^{3} (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $2 x^{5} - 5 x^{4}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$2 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$2 \cdot 0 - 5 {(0)}^{4}$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 - 5 {(0)}^{4}$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 5 \cdot 0$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 1.4.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $2$ por $x$ .

$2 {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{5}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$2^{1} {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Etapa 1.4.2.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2^{1 + 5} - 5 {(2)}^{4}$

Etapa 1.4.2.2.1.1.2

Some $1$ e $5$ .

$2^{6} - 5 {(2)}^{4}$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $6$ .

$64 - 5 {(2)}^{4}$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$64 - 5 \cdot 16$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Multiplique $- 5$ por $16$ .

$64 - 80$

Etapa 1.4.2.2.2

Subtraia $80$ de $64$ .

$- 16$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (2, - 16)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$2 {(- 1)}^{5} - 5 {(- 1)}^{4}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$2 \cdot - 1 - 5 {(- 1)}^{4}$

Etapa 2.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 - 5 {(- 1)}^{4}$

Etapa 2.1.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$- 2 - 5 \cdot 1$

Etapa 2.1.2.1.4

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$- 2 - 5$

Etapa 2.1.2.2

Subtraia $5$ de $- 2$ .

$- 7$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $3$ por $x$ .

$2 {(3)}^{5} - 5 {(3)}^{4}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$2 \cdot 243 - 5 {(3)}^{4}$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $243$ .

$486 - 5 {(3)}^{4}$

Etapa 2.2.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$486 - 5 \cdot 81$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $- 5$ por $81$ .

$486 - 405$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $405$ de $486$ .

$81$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 1, - 7), (3, 81)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(3, 81)$

Mínimo absoluto: $(2, - 16)$

Etapa 4