Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ , $[0, 4 π]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Etapa 1.1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 1.1.1.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 1.1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.1.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Etapa 1.1.1.2.4

Multiplique $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 1.2.3.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.3.3

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$x = π$

Etapa 1.2.3.4

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2.3.5

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.3.5.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.3.5.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 1.2.3.5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.5.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.5.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.3.5.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.3.5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.5.2.2.1

Simplifique $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Etapa 1.2.3.5.2.2.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.3.5.2.2.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.3.5.2.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 1.2.3.5.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.5.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 1.2.3.5.2.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Etapa 1.2.3.5.2.2.1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = 4 π - π$

Etapa 1.2.3.5.2.2.1.6

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = 3 π$

Etapa 1.2.3.6

Encontre o período de $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Etapa 1.2.3.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.3.6.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 1.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.3.6.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 2$

Etapa 1.2.3.6.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 π$

Etapa 1.2.3.7

O período da função $\cos (\frac{x}{2})$ é $4 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $4 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.4

Consolide as respostas.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $\sin (\frac{x}{2})$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = π$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $π$ por $x$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.4.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$1$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 3 π$ .

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Etapa 1.4.2.1

Substitua $3 π$ por $x$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.2.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.4.2.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 1.4.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(π + 4 π n, 1), (3 π + 4 π n, - 1)$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(π, 1), (3 π, - 1)$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 3.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\sin (\frac{0}{2})$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Divida $0$ por $2$ .

$\sin (0)$

Etapa 3.1.2.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$0$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 4 π$ .

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Etapa 3.2.1

Substitua $4 π$ por $x$ .

$\sin (\frac{4 π}{2})$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Fatore $2$ de $4 π$ .

$\sin (\frac{2 (2 π)}{2})$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\sin (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\sin (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})$

Etapa 3.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\sin (\frac{2 π}{1})$

Etapa 3.2.2.1.2.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$\sin (2 π)$

Etapa 3.2.2.2

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\sin (0)$

Etapa 3.2.2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$0$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (4 π, 0)$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(π, 1)$

Mínimo absoluto: $(3 π, - 1)$

Etapa 5