Cálculo Exemplos

$f (x) = \cos (x)$ , $[π, 3 π]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f' (x) = - \sin (x)$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \sin (x) = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \sin (x) = 0$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $- \sin (x) = 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $- \sin (x) = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 1.2.2.2.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{- 1}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 1.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 1.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 1.2.6

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 1.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 1.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.2.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.9

Consolide as respostas.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $\cos (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\cos (0)$

Etapa 1.4.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$1$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = π$ .

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Etapa 1.4.2.1

Substitua $π$ por $x$ .

$\cos (π)$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.2.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \cos (0)$

Etapa 1.4.2.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 1.4.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(0 + 2 π n, 1), (π + 2 π n, - 1)$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(2 π, 1), (π, - 1), (3 π, - 1)$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 3.1

Avalie em $x = π$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua $π$ por $x$ .

$\cos (π)$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \cos (0)$

Etapa 3.1.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 3.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 3 π$ .

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Etapa 3.2.1

Substitua $3 π$ por $x$ .

$\cos (3 π)$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\cos (π)$

Etapa 3.2.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \cos (0)$

Etapa 3.2.2.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 3.2.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(π, - 1), (3 π, - 1)$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(2 π, 1)$

Mínimo absoluto: $(π, - 1), (3 π, - 1)$

Etapa 5